Модели однофакторного регрессионного комплекса

В однофакторном регрессионном анализе предполагается, что переменная определяется только одной независимой переменной (одним фактором), следовательно, модели РА-1 и РА-2 имеют вид

,

соответственно.

Данные модели могут быть представлены в несколько иной форме, а именно:

, (9.2.1)

, (9.2.2)

где – ошибка результата наблюдения; – ошибка наблюдаемого значения фактора.

В ряде источников модели однофакторного регрессионного анализа именуются моделями парной регрессии.

Регрессионный комплекс, соответствующий модели (9.2.1), описывается следующим образом. Пусть проводится исследование некоторой системы, при этом выполняется n опытов. В результате фиксируется n значений параметра x, характеризующего воздействие среды на систему. При каждом значении x_i, данного параметра фиксируется m значений наблюдаемого признака , который характеризует воздействие системы на среду (рис.9.1). Результаты наблюдений могут быть представлены в виде табл.9.1.

Рис.9.1. Взаимодействие системы и среды

Таблица 9.1

Представление результатов однофакторного эксперимента (модель РА-1)

Значения фактора	Наблюдаемые значения результата
		×××	j	×××	m
x1	y11	y12	×××	y1j	×××	y1m
x2	y21	y22	×××	y2j	×××	y2m
×××	×××	×××	×××	×××	×××	×××	×××
xi	yi1	yi2	×××	yij	×××	yim
×××	×××	×××	×××	×××	×××	×××	×××
xn	yn1	yn2	×××	ynj	×××	ynm

В данной таблице кроме результатов наблюдений приведены оценки условных математических ожиданий результатов наблюдений для различных значений фактора x.

Графически результаты наблюдений могут быть изображены в виде поля корреляции, показанного на рис.9.2.

Рис.9.2. Поле корреляции и функции регрессии

На данном поле зачернённые точки соответствуют результатам наблюдений, крестики – значениям оценок математических ожиданий

, ,

а кружки – значениям математических ожиданий

, .

Предположим, что между и x существует зависимость, которая может быть описана в виде

, .

Тогда кривая, проведённая через значения представляет собой функцию регрессии генеральной совокупности (кривая 1, рис.9.2). Так как каждая оценка условного математического ожидания представляет собой несмещённую оценку, то кривая 2, рис.9.2, проходящая через значения , будет одной из приемлемых оценок функции регрессии генеральной совокупности. Данная кривая называется выборочной функцией регрессии или оценкой функции регрессии.

Задачей регрессионного анализа является определение выборочной функции регрессии, наилучшим образом (в каком-либо смысле) соответствующей функции регрессии генеральной совокупности.

Для того чтобы данная задача была конструктивной, т.е. допускала решение, вводится ряд предположений, в рамках которых справедливо применение регрессионного анализа. Эти предположения состоят в следующем.

1. Величина x является неслучайной, т.е. задаётся или измеряется без ошибок.

2. Результаты наблюдений получены таким образом, что

, , . (9.2.3)

3. Для каждого x_i распределение величины имеет постоянную дисперсию:

, . (9.2.4)

Учитывая (9.2.4), для любого y_i можно записать

, . (9.2.5)

Так как является несмещённой оценкой , то ошибка

, (9.2.6)

представляет собой случайную величину с математическим ожиданием

и дисперсией

.

4. Величины и x_i являются стохастически независимыми, так как x_i являются детерминированными и, следовательно, справедливо равенство

, ,

где - корреляционный момент и x_i.

5. Результаты наблюдений являются независимыми:

, i ¹ l, , .

6. Величины и, следовательно, ошибки распределены по нормальному закону. Необходимо заметить, что отклонения от нормального закона встречаются часто, однако имеют существенное значение только в том случае, если они велики.

В большинстве практических случаев сбор данных или весьма затруднён, или связан с большими затратами. Поэтому нередко каждому значению фактора x соответствует только одно значение результата и тогда m = 1, y_ij = y_i. В связи с тем, что это значение извлекается случайным образом из генеральной совокупности, величина y_i является несмещённой оценкой величины . Учитывая данное обстоятельство, имеем

, , .

Регрессионный комплекс, соответствующий модели (9.2.2), значительно отличается от рассмотренного и имеет следующие особенности.

Пусть проводится исследование некоторой системы, при этом выполняется n опытов. В каждом опыте может быть зарегистрировано m значений фактора , характеризующего воздействие среды на систему, и столько же соответствующих значений результата , который является характеристикой воздействия системы на среду. Поскольку любая точка (x_ij; y_ij) случайным образом извлекается из генеральной совокупности, то её можно рассматривать как результат i-го опыта:

(x_ij; y_ij) = (x_i; y_i), , .

В этом случае результаты наблюдений могут быть представлены в виде табл.9.2.

Таблица 9.2

Представление результатов однофакторного эксперимента (модель РА-2)

Значения фактора	x1	x1	×××	x1	×××	x1
Значения результата	y1	y1	×××	y1	×××	y1

Очевидно, что нижняя строка табл.9.2 представляет собой одновременно и оценки условных математических ожиданий:

, .

Как и в модели РА-1 графически результаты наблюдений могут быть представлены в виде поля корреляции, рис.9.3.

Рис.9.3. Поле корреляции и кривая регрессии

Из сравнения рис.9.2 и 9.3 вида разница между моделями РА-1 и РА-2. Если в первой модели результаты наблюдений рассеивались при определённых значениях фактора x, то во второй результаты располагаются произвольно по всему полю корреляции. Случайный характер значений фактора определяет и особенности РА-2. Эти особенности проявляются как в системе предположений, в рамках которых выполняется РА-2, так и в методах, которые используются при его проведении. Для модели РА-2 справедливы предположения 2, 3, 5, 6.

Так как фактор является случайным, то в общем случае

,

, .

Особенности методов, используемых в РА-2, рассмотрены ниже.