Проверка адекватности уравнения регрессии

Под адекватностью уравнения регрессии понимается соответствие данного уравнения экспериментальным данным.

Адекватность уравнения определяется, прежде всего, правильным выбором класса Y функций регрессии.

Для проверки соответствия выбранного класса функций регрессии опытным данным рассмотрим очевидное тождество

, . (9.2.21)

Возведём обе части (9.2.21) в квадрат и найдём для них математические ожидания:

так как

.

В результате получим

или

, (9.2.22)

где s² – общая дисперсия результатов наблюдений (дисперсия выходной переменной), – дисперсия, характеризующая рассеивание результатов наблюдений относительно регрессионной зависимости (остаточная дисперсия); – дисперсия, характеризующая отклонение регрессионной зависимости относительно истинной.

Чем меньше рассеивание результатов относительно регрессионной зависимости, тем лучше последняя аппроксимирует истинную (но неизвестную) зависимость (удовлетворяет экспериментальным данным). Таким образом, чем больше отношение , тем более адекватно уравнение регрессии. Поэтому выражение

, (9.2.23)

принимается в качестве показателя согласованности при проверке нулевой гипотезы H₀ о соответствии выбранного класса функций регрессии экспериментальным данным. В связи с тем, что случайная величина (9.2.23) подчиняется закону распределения Фишера [1], критерием правильности гипотезы H₀ является выполнение неравенства

, (9.2.24)

где F – наблюдаемое (вычисленное) значение показателя согласованности гипотезы H₀; – критическое значение данного показателя при уровне значимости a и степенях свободы f₁ = n – 1, f₂ = n – k – 1. Критическое значение берётся по таблице критических точек распределения Фишера (приложение 5). Входами в таблицу являются величины a, f₁, f₂.

Оценки дисперсий и находятся по формулам:

; (9.2.25)

. (9.2.26)

В случае невыполнения условия (9.2.24) принимается конкурирующая гипотеза H₁, т.е. возникает проблема выбора другого класса функций регрессии, более точно соответствующего экспериментальным данным. Проверка неравенства (9.2.24) называется проверкой адекватности уравнения регрессии по критерию Фишера.