Проверка значимости коэффициентов регрессии

Важным аспектом качества регрессионной зависимости является значимость коэффициентов регрессии a_j, . Поскольку оценки этих коэффициентов получены на основе случайной выборки, возникает задача проверки того, что их величина определяется именно видом зависимости между и x, а не случайным характером выборки. Эта задача сводится к проверке гипотез о неравенстве нулю коэффициентов a_j:

H_0j: a_j ¹ 0,

при соответствующих конкурирующих гипотезах H_1j: a_j = 0.

В качестве показателя согласованности при проверке гипотез H_0j используется выражение

, , (9.2.27)

где – модуль величины ; – оценка среднего квадратического отклонения коэффициента .

Получение оценок осуществляется так же, как это было описано в п.п.8.3.2. Здесь учтём специфику рассматриваемого вида функций регрессии (9.2.11) и уточним данную процедуру.

В соответствии с выражением (8.3.14) можно написать:

. (9.2.28)

На главной диагонали корреляционной матрицы (9.2.28) вектора будут дисперсии оценок коэффициентов регрессии:

. (9.2.29)

Случайная величина (9.2.27) подчинена закону распределения Стьюдента с f = n – k – 1 степенями свободы [1, 4]. Поэтому критерием правильности гипотез H_0j является выполнение неравенств

, , (9.2.30)

где t_j – наблюдаемое значение показателя согласованности гипотезы H_0j; t_{(a; n–k–1)} – критическое значение данного показателя при уровне значимости a и f степенях свободы.

Критическое значение t_{(a; n–k–1)} берётся из таблицы критических точек распределения Стьюдента (приложение 6). Очевидно, что входами в таблицу являются a и f.

Коэффициенты регрессии, для которых не выполняется условие (9.2.30), принимаются равными нулю. Проверка неравенств (9.2.30) называется проверкой значимости коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента.

Следует отметить, что при решении практических задач встречаются случаи, когда после исключения незначимых коэффициентов в соответствии с критерием Стьюдента регрессионная зависимость становится неадекватной. Такие случаи вызывают сомнения в универсальности этого широко применяемого в настоящее время критерия. Поэтому после исключения незначимых коэффициентов проверку адекватности уравнения регрессии по критерию Фишера целесообразно повторить.