Расчетные зависимости

Электромагнитное излучение, испускаемое веществом за счет его внутренней энергии, называется тепловым излучением. Тепловое излучение равновесно, если расход энергии тела на излучение компенсируется за счет подвода к нему такого же количества энергии. При этом температура тела сохраняется.

Основными характеристиками теплового излучения являются:

1. Спектральная плотность энергетической светимости

 

численно равна отношению энергии dW_изл, излучаемой за единицу времени с единицы площади поверхности тела в интервале частот от до , к ширине этого интервала. Единица измерения – Вт/м.²

2. Энергетическая светимость =

–- энергия электромагнитных волн всевозможных частот (от 0 до ∞), излучаемая за единицу времени с единицы площади поверхности тела. Единица измерения - Вт/м².

3. Спектральная поглощательная способность

показывает, какая доля энергии электромагнитных волн с частотами от до , падающих на поверхность тела, поглощается им. Часть падающей энергии отражается от поверхности тела,

 

.

 

Перечисленные характеристики являются функциями температуры. Согласно закону Кирхгофа при тепловом равновесии отношение спектральной плотности энергетической светимости любого тела к его спектральной поглощательной способности не зависит от природы тела и является универсальной функцией температуры тела и частоты излучения,

 

(1.1)

 

По определению не может быть больше единицы. Для тела, полностью поглощающего при любых температурах все падающее на него излучение, = 1. Такое тело называется абсолютно черным. Серым телом называется тело, спектральная поглощающая способность которого зависит только от температуры и не зависит от частоты (длины волны) излучения. Если спектральная поглощающая способность тела зависит и от частоты электромагнитного излучения, то для таких (не серых) тел введено понятие средней спектральной поглощательной способности при данной температуре или, что то же самое, коэффициента черноты .

По закону Стефана-Больцмана энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры,

(1.2)

где - постоянная Стефана-Больцмана.

Пояснение к (1.2). Для абсолютно черного тела в условиях термодинамического равновесия

 

 

Таким образом, функция определяет спектральную плотность энергетической светимости абсолютно черного тела. Интегрирование выражения (1.1) в пределах от 0 до приводит к зависимости (1.2). Энергетическая светимость нечерного (в частности, серого) тела

 

(1.3.)

 

Коэффициент черноты зависит от материала тела, состояния его поверхности и температуры.

Пояснение к (1.3). В случае нечерного тела из закона Кирхгофа следует, что

поэтому

 

 

В экспериментальных исследованиях часто удобнее пользоваться фун-кцией длины волны . Из выражений

, следует .

Зависимости представлены на рис. 1.1.

 

 

Рис. 1.1. Зависимость спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела от длины волны при нескольких постоянных значениях температуры

На основании выражения (1.1) можно найти также частоту (длину волны), при которой излучается наибольшая энергия. Решение уравнения

дает

или (1.4)

где определяет частоту (длину волны), при которой спектр излучения имеет максимум, b - постоянная величина. Соотношения (1.4) носят название закона смещения Вина. Если взять, например, значения температуры 2000, 3000 и 4000 °С, то длины волн, при которых имеет максимум (рис. 1.1), равны 1,44; 0,96; 0,72 мкм, соответственно.

Относительное распределение энергии в спектре излучения лампы накаливания примерно такое же, как и у абсолютно черного тела, особенно в видимой области спектра. Нить накала лампы изготовлена из вольфрама в виде тонкой спирали. Однако вольфрам, температура плавления которого 3700 К, выносит длительное нагревание лишь до температуры около ~2700 К вследствие потерь на испарение. Это - нормальная рабочая температура газонаполненных вольфрамовых ламп накаливания. Добавление инертного газа (до давления ~ 5∙10⁵ Па) уменьшает распыление нити и увеличивает срок службы лампы.

Подводимая к спирали электрическая мощность Р расходуется на выделение тепла. В условиях стационарности процесса количество тепла, выделяемого током в спирали, равно количеству тепла, отдаваемого за то же время в окружающую среду. При низких температурах основные тепловые потери связаны с конвекцией и теплопроводностью. Эти потери, однако, растут как первая, а не как четвертая степень температуры. Поэтому при достаточно высоких температурах основную роль начинают играть именно потери на излучение. При этом наряду с мощностью, излучаемой спиралью, необходимо учитывать также мощность, получаемую от окружающих тел. Тем самым мощность, затрачиваемая на излучение, уменьшается до величины

где и - коэффициенты черноты вольфрамовой спирали и окружающей среды, а , - их температуры соответственно; S – площадь спирали. Поглощение электромагнитного излучения при температуре >>невелико и (1.5)

Следовательно, если построить график зависимости мощности Р, выделяемой током в нити накала, от аргумента Т⁴ , то, начиная с некоторых температур, зависимость должна быть линейной. Экспериментальное подтверждение линейной зависимости при высоких температурах указывает на справедливость закона Стефана - Больцмана. Кроме того, из тангенса угла наклона зависимости можно определить среднее в исследованном интервале температур значение коэффициента черноты нити накала

откуда

(1.6)

Для построения зависимости необходимы данные по мощности Р, выделяемой током в нити накала, и по температуре Т этой нити:

(1.7)

где U и I - падение напряжения на нити накала и сила тока в ней соответственно, - коэффициент мощности, приближенно равный единице вследствие малой индуктивности и межвитковой емкости вольфрамовой спирали. В свою очередь, определение Т основано на температурной зависимости сопротивления металлических проводников

где , - сопротивления проводника при температурах t и 0 °С соответственно; - температурный коэффициент сопротивления. Из последнего выражения следует

(1.8)

Величина сопротивления нити накала находится из экспериментальных данных по значениям тока и напряжения

 

R = U / I. (1.9)