Реферат Курсовая Конспект
Теорема Жегалкина - раздел Образование, УСМАНОВА Зинира Масгутовна Каждая Функция Из ...
|
Каждая функция из может быть представлена в виде полинома Жегалкина единственным образом.
Здесь единственность понимается с точностью до порядка слагаемых в сумме и порядка сомножителей в конъюнкциях:
, s = 0, 1, ..., n. Доказательство. Любая функция из Р2 может быть представлена формулой над {x1 & x2, x1Å x2, 0, 1}, а эта формула после раскрытия всех скобок и приведения подобных членов дает полином Жегалкина. Докажем единственность представления. Рассмотрим функции f(x1, ..., xn) от n переменных. Мы знаем, что всего таких функций, т.е. их таблиц истинности , 2n. Подсчитаем число различных полиномов Жегалкина от n переменных, т.е. число вариаций вида: . Число наборов равно числу всех подмножеств множества { x1, ..., xn }, сюда входит и пустое множество (если s = 0). Число подмножеств множества из n элементов равно 2n , а так как каждый набор входит с коэффициентом , принимающим два значения: 0 или 1, то число всевозможных полиномов будет . Так как каждому полиному соответствует единственная функция, число функций от n переменных равно числу полиномов, то каждой функции будет соответствовать единственный полином.
Определение.Функция f(x1, ..., xn), полином Жегалкина для которой имеет следующий линейный относительно переменных вид: f = а0 Å а1х1 Å а2х2 Å ... Å аnхn, называется линейной.
Лемма о нелинейной функции. Суперпозицией нелинейной функции, отрицания и константы 1 можно получить конъюнкцию.
Доказательство. Пусть f(x1, ..., xn) – нелинейная функция. Тогда полином Жегалкина содержит для нее слагаемое, в котором присутствует произведение xixj. Будем считать для простоты, что x1x2 в многочлене Жегалкина является этим произведением. Произведя группировку слагаемых, функцию f представим в виде
Функция h0 не есть тождественный нуль, иначе в полиноме Жегалкина отсутствует слагаемое с произведением x1x2. Тогда существует набор (a3, …, an) из 0 и 1, для которого h0(a3, …, an) = 1. Пусть h1(a3, …, an) = a, h2(a3, …, an) = b, h3(a3, …, an) = c. Тогда
Построим функцию:
где d = ab Å c. Если d = 0, то h(x1, x2) = x1x2. Если d = 1, то h(x1, x2) = x1x2 Å 1 и тогда Лемма доказана.
Функция f(x1, ..., xn) сохраняет константу a Î {0, 1}, если f(a, …, a) = a.
Пример 4. Функция xy сохраняет 0, сохраняет 1. Функция x®y сохраняет 1 и не сохраняет 0.
2.6. Замыкание и замкнутые классы
Определение 1. Пусть MÍР2. Замыканием М называется множество всех функций из P2, которые можно выразить формулами над М. Замыкание М обозначается [M].
Определение 2.Множество функций М называется замкнутым классом, если [M]=M.
Пример 1.
1) P2 – замкнутый класс.
2) Множество {1,x1Åx2} не является замкнутым классом. Его замыканием будет класс линейных функций: [{1, x1 Å x2}] = {f(x1, ..., xn) = c0 Å c1x1 Å ... Å cnxn}. Действительно, по определению формулы над М, функция f(G1, x3), где f – есть сумма по модулю 2, G1 – функция х1 Å х2, будет формулой над М: f(G1, x3) = (x1 Å x2) Å x3.
Замечание.В терминах замыкания и замкнутого класса можно дать другое определение полноты, эквивалентное исходному:
М – полная система, если [M] = P2.
3) A = {f(x1, ..., xn)| f(1, 1, ..., 1) = 0} – незамкнутый класс. Возьмем формулу над этим множеством. Пусть f, g1, ..., gn Î A, т.е. f(1, 1, ..., 1) = 0, g1(1, 1, ..., 1) = 0, тогда f(g1, ..., gn) Î [A]. Посмотрим, принадлежит ли функция f(g1, ..., gn) множеству А. f(g1(1, ..., 1), g2(1, ..., 1), ..., gn(1, ..., 1) = f(0, ..., 0)), но f(0, ..., 0) не обязано быть равным 0. Действительно, пусть g1(x1, x2) = x1 Å x2, g2(x) = x ÎA. Возьмем g2(g1(x1, x2)) = x1 Å x2 Î [A], g2(g1(1, 1)) = 1 Å 1 = 0, следовательно, g2(g1(x1, x2)) Ï A, отсюда [A] ¹ A и А – незамкнутый класс.
Важнейшие замкнутые классы в Р2
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
АХМЕТОВА Наиля Абдулхамитовна УСМАНОВА Зинира... Замыкание и замкнутые классы...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теорема Жегалкина
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов