Задачи и упражнения по функциям алгебры логики

При оперировании с функциями алгебры логики бывают полезны следующие эквивалентности (большинство из них называют обычно основными эквивалентностями алгебры логики). Построив таблицу для соответствующих функций, убедитесь в справедливости следующих эквивалентностей:

1. – коммутативность связки *, где символ * является общим обозначением для связок &, Ú, Å, ~, |, ¯.

2. – ассоциативность связки *, где *– общее обозначение для связок &,Ú,Å,~.

3. Дистрибутивность

а) – дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции;

б) – дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции;

в) – дистрибутивность конъюнкции относительно сложения по mod 2.

4. а); б) суть правила де Моргана;

5. а); б) суть правила поглощения;

6. а); б);

7. а); б);

в); г); д);

8. а);

б); в);

9. а); б).

 

1. Построить таблицы соответствующих функций, выяснить, эквивалентны ли формулы и :

1) , ;

2) ,

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) , ;

7) , ;

8) , ;

9) , ;

10) , .

Ответы: 2), 6), 9), 10) – эквивалентны; 3), 7) – не эквивалентны.

 

2. Построив таблицу для соответствующих функций, убедитесь в справедливости следующих эквивалентностей:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) .

 

3. Используя приведенные выше основные эквивалентности и соотношения докажите эквивалентность формул V и U:

1), ;

2), ;

3), ;

4), ;

5), ;

6), ;

7), ;

8), ;

9), ;

10), .

Ответы:

4) ;

9)

4. Используя непосредственно определение двойственности булевых функций, а также основные эквивалентности и соотношения, выясните, является ли функция g двойственной к функции f:

1), ;

2), ;

3), ;

4), ;

5), ;

6), ;

7), ;

8), ;

9), ;

10), ;

11), ;

12), .

Ответы: 4), . Значит, g не двойственна к f. 6) – не является; 8),9),11) – является.

 

5. Используя принцип двойственности, постройте формулу, реализующую функцию, двойственную к функции f, и убедитесь в том, что полученная формула эквивалентна формуле V:

1), ;

2), ;

3), ;

4), ;

5), ;

6), ;

7), ;

8), ;

9), ;

10), .

 

Ответы:

1)

2); 5); 10).

 

6. Указать все фиктивные переменные у функции f:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Ответы:1)две фиктивные переменные; 3)одна фиктивная переменная; 5)фиктивные переменные x₁ и x₃.

 

7. Показать, что x₁ – фиктивная переменная у функции f (реализовав для этой цели функцию f формулой, не содержащей явно переменную x₁):

1);

2);

3);

4)5) 6)7)

8)9)10)

Ответы: 4),8),10) 9)

 

8. Выяснить, можно ли из функции f , отождествляя и переименовывая в ней переменные, получить функцию g:

1),

2),

3),

4),

5),

6),

7), ;

8), ;

9), ;

10), .

Ответы: 1),2),5),7),8),9),10)можно. 3),4),6)нельзя.

 

 

9. Представить в СДНФ следующие функции:

1);

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Ответы: 2); 4), 7)

 

10. Представить в СКНФ следующие функции:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Ответы: 1); 2); 6); 8)

 

11. С помощью эквивалентных преобразований построить ДНФ функции

:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Ответы:

4)

10)

 

12. Используя эквивалентные преобразования, построить КНФ функции

:

1)

2);

3)

4)

5)

6)

7)

Ответы:

1)

3)

6)

 

13. Применяя преобразования вида ипостроить из заданной ДНФ функции ее совершенную ДНФ:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Ответы:

2)

5)

 

14. С помощью преобразований вида и построить из данной КНФ функции ее совершенную КНФ:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Ответы:

1)

5)

 

15. Используя дистрибутивный закон и эквивалентности и перейти от заданной КНФ функции к ДНФ:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Ответы:

3)

6)

16. Используя дистрибутивный закон и эквивалентности и перейти от заданной ДНФ функции к ее КНФ:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Ответы:

2)

5)

 

17. Методом неопределенных коэффициентов найти полиномы Жегалкина для следующих функций:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Ответы:

1) 3) 6)

10)

 

18. Методом треугольника Паскаля построить полином Жегалкина для этой функции, если:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

Ответы:

1) 4) 7)

 

19. Представив функцию формулой над множеством связок {&, }, преобразуйте полученную формулу в полином Жегалкина функции (используя эквивалентности ):

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Ответы:

1)

3)

9)

 

20. Построить множество всех функций, зависящих от переменных x₁,x₂ и принадлежащих замыканию множества А:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Ответы: 1) 2) 3)

4) 5) 6)

 

21. Покажите, что , выразив формулой над множеством А:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Ответы: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

 

22. Выписать все попарно неконгруэнтные функции , принадлежащие замыканию множества А:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8) 9) 10)

Ответы: 1) 2) 3) 4) 5)

 

23. Из полной для класса [A] системы выделить базис:

1) 2) 3) 4)

5) 6)

7) 8)9) 10)

Ответы: 1) 2) 3) 4)5)

 

24. Сведением к заведомо полным системам в P₂ показать, что множество А является полной системой в P₂:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

 

Ответы: 1)система является полной в P₂, поскольку всякая может быть представлена в виде ДНФ или КНФ. С другой стороны,

2) имеем Система полна, поскольку

3) имеем ;

4) имеем ;

5) имеем ;

 

25. Выяснить, является ли функция f самодвойственной:

1)

3)

5)

7)

2)

4)

6)

8)

9)

11)

13)

15)

10)

12)14)

 

Ответы: 1),3),4),8),10) – является; 2),5),6),7),9) – не является.

 

26. Выяснить, является ли самодвойственной функция f, заданная векторно:

1)

3)

5)

7)

9)

11)

13)

15)

 

2)

4)

6)

8)

10)

12)

14)

 

 

Ответы: 1),3),5),6),7),8) – является; 2),4),9),10) – не является.

 

27. Выяснить, является ли множество А самодвойственным:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Ответы: 1),3),5-7),10) – является; 2),4),8),9) – не является.

 

28. Представив функцию f полиномом, выяснить, является ли она линейной:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Ответы: 2),3),5),6),8),9)–является. 1),4),7),10)–не является.

 

29. Выяснить, является ли линейной функция f, заданная векторно:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Ответы: 1),3),4),5),7),8),9),10) – является; 2),6) – не является.

 

30. Доказать, что система А полна в L. Выяснить, является ли система A базисом в L:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Ответы: 1)с помощью суперпозиции из функции можно получить любую функцию вида , путем подстановки 1-любую функцию вида Система А является базисом;

2),3),4),5),7),8),9) – является; 6),10) – не является.

 

31. Выяснить, принадлежит ли функция f множеству T₁T₀:

1)