Кооперативные игры.

Введение. Игра называется кооперативные , если в ней игрокам разрешено обсуждать свои стратегии и договор о совместных действиях игры образуют коалицию.

Теория кооперативных игр изучает тип коалиции который образуется в процессе игры.

Обозначим через N множество всех 4 игроков, игроков нумерации.

N=1,2,3…n. Коалиция показывает любое множество SCN
S- по S множеств N.

число коалиций составлений из R игроков= C^k_n

n==

Число всевозможной коалиций:

^k_n=2ⁿ

создание коалицию S множество игроков коалиции действует как один игрок против остальных игроков. Выигрыш коалиций S сумма выигрыша всех игроков этой коалиции.

Опр. Характеристическая функция называется адетивной, если

V(A B)= V(A)+V(B) (2)

A₁BN

A B=

Если равенство (2) выполняется для любых A B=, двух не пересекающих множеств.

Теорема:

Характеристическая функция является аддитивной когда и только тогда, когда выполняется равенство.

(3), где

V(i)- выигрыш игрока с номером i

V(N)-выигрыш коалиции, соответствующей из все N игроков.

Доказательство:
чтобы получить формулу (3)нужно показ умножить на имеющей на пересечение и принять формулу (2).

Возьмем две не переменные множители

S и L не пересекаются

S L=, тогда

V (S)+V(L) V(SL)

V(S) (1`)

V(L)(2`)

(3`)

Отсутствие А В – разность 2 множителей, которые состоят их элементов принадлежит множеству А и не принадлежит множителю В.

V(SL)+V (N S L) V(N)

V(N)=

Если сложить неравенство (1`)+(2`)+(3`), то в левой части получится

V(N )= ) V(S)+ V(L)+V(NSL) V(N) (4`)

Все неравенства должны быть равенствами.

Теорема доказана.

Опр. если характер функции является аддитивной, т.е выполняется равенство.

=V(N)

Тогда кооперативная игра называется не существенной.

Опр. Кооперативная игра называет существенная, если выполняется неравенство.

V(N)

Игра существенная если выигрыш вне коалиции .

S дележи в кооперативных играх. Одна из основных задач кооперативной игры как поднять выигрыши. Если в результате распределения выигрыш коалиции.

Опр. Дележом называется вектор X= (x_1, x₂,… x_n)

 

25. Определение характеристической функции. Её свойства.

Опр. Сводится понятие характеристики продукции, показывают функцию которая SV(S) каждой коалиции S составит соответствие наибольшем выигрыш коалиции.

Опр. Характерная функция является удовлетворенным неравенством:

Если неравенство Аи В не пересекаются, (АВ)
V(AB)V(A)+V(B) (1) Неравенство (1) означает, что в результате образование новой коалиции, выигрыш может только увеличиваться. Требование (1)является логичным, так как создание коалиций было бы бессмысленным, если бы величина выигрыша уменьшается с увеличением числа игр коалиций.

Характеристика функций называется просто если она принимает 2 значения (0 и 1). При этом если V(S)=1, то коалиция S называется выигрыш. Если же V(S)=0, то коалиция S проигрыши.

При создании теории ввели ряд допущений:

1)симметрия

2)режим не зависит от много точных линейных преобразований.

3) режим не должен изменится, если исключить возможные выборы, которые не используют.

Теорема:

Характеристическая функция является аддитивной когда и только тогда, когда выполняется равенство.

(3), где

V(i)- выигрыш игрока с номером i

V(N)-выигрыш коалиции, соответствующей из все N игроков.

Доказательство:
чтобы получить формулу (3)нужно показ умножить на имеющей на пересечение и принять формулу (2).

Возьмем две не переменные множители

S и L не пересекаются

S L=, тогда

V (S)+V(L) V(SL)

V(S) (1`)

V(L)(2`)

(3`)

Отсутствие А В – разность 2 множителей, которые состоят их элементов принадлежит множеству А и не принадлежит множителю В.

V(SL)+V (N S L) V(N)

V(N)=

Если сложить неравенство (1`)+(2`)+(3`), то в левой части получится

V(N )= ) V(S)+ V(L)+V(NSL) V(N) (4`)

Все неравенства должны быть равенствами.

Теорема доказана.