Принятие решений в условиях неопределенности. (Егорова)

1.Принятие решений в условиях неопределенности. (Егорова)

При решении социально-экономических задач приходиться принимать противоречивые интересы относящиеся к различным лицам и организациям. В таких случаях традиционные методы организационно конфликтный характер, не предполагая вражды между участниками, а свидетельствует и различных интересах, подобная ситуация вызвала математический характер под названием теория игр.

Теория игр - изучает процессы принятия оптимальных решений, это раздел математики.

Математическая теория игр была разработана американским учёным Джордоном Неймоном и Марген Штеймах в 1994 году, как средство математического подхода к явлениям конкурентной экономики. Игрой называют всякую конфликтную ситуацию изучаемую в теории игр, и представляющую упрощённую модель ситуации, от реальной ситуации игра отличается тем, что не включается второстепенным фактором, и ведётся по вполне определённым правилам. Всякая игра включает в себя 3 элемента: Игроков

Правила игры Оценку результатов действий игроков

Стратегией игрока называют совокупность правил определяющих выбор ситуации в сложившийся ситуации.

Оптимальной стратегией игрока называют такую, которая обепечит максимальный выигрыш.Вся теория игр заключается в том чтобы определить оптимальную стратегию для каждого игрока. Игры с природой Природа - это объективная действительность, и незаинтересованная сторона поведение которой неизвестно. Изучение игр с природой начинается с платёжной матрицы. фЛПР - лицо принимающее решение( у него много стратегий А_1, А_2, А₃…А_n)

У природы имеется n возможных состояний(П₁, П₂, П₃…П_n)

Платёжная матрица имеет вид:

	П1	П2		Пn
A1	d11	d12
A2	d21	d22		d2n
An	dm1	dm2		dmn

 

Критерий Макси Макса. Максиминный критерий Вальда.

Нетрудно увидеть, что для матрицы А наилучшим решением будет А1, при котором достигается максимальный выигрыш - 9. Следует отметить, что ситуации, требующие применения такого критерия, в… Максиминный критерий Вальда. С позиций данного крите­рия природа рассматривается как агрессивно настроенный и…

Критерий оптимизма и пессимизма Гурвица.

  4. Критерий Лапласа. Критерий Байеса. основывается на предположение о том, что все состояния природы равновероятностны. Для каждой стратегии находим…

Критерий Севиджа.

Для матрицы R (3.2) нетрудно рассчитать: • для первой стратегии (i=1) ;

Нижняя и верхняя цена игры. максиминные и минимаксные стратегии.

игроки А и В. А имеет стратегии А1, А2, . . ., Аn В имеет стратегии В1, В2, . . ., Вn Дано, что в результате выбора игроками произвольной пары…   Аi Bj В1 В2 … Вn αi …  

Максиминный принцип.

j i Величина (1) называется нижней ценой игры или максиминный выигрыш 1го игрока.…  

Решение матричных игр с седловой точкой.

Стратегии, соответствующие цене игры являются оптимальными стратегиями. Они вместе составляют решение игры. Пара чистых стратегий Аi и Bj дают…  

Решение игры в смешанных стратегиях для платежной матрицы 2х2.

Принцип доминирования. Доминирующие и дублирующие стратегии.

А=() ( 1 1. (4

Геометрическое решение игры в смешанных стратегиях(2х n)

Ломаная позволяет определить минимальный выигрыш игрока А при любом поведении игрока В. Тогда N в которой ломаная достигает max определяет решение… Решение.           1 … a = 2, b=4, , поэтому игра не имеет седловой точки, и решение должно быть в смешанных стратегиях. 1. Строим…

Геометрическое решение игры в смешанных стратегиях (nх2).

14. Определение задачи линейного программирования.

15. Приведение матричной игры к задаче линейного программирования.

16. Решение задачи линейного программирования графическим методом.

Симплексный метод решения задачи линейного программирования.

Симплексный метод – это метод целенаправленного перебора опорного решения задач линейного программирования (з.л.п).

Заметим, что опорные решения – это угловая точка многогранника.

Алгоритм симплексного метода решения задач линейного программирования

1. Привести задачу к каноническому виду 2. Найти начальное опорное решение с "единичным базисом" (если… 3. Вычислить оценки разложений векторов по базису опорного решения и заполнить таблицу симплексного метода

Алгоритм составления симплексной таблицы. Преобразование симплексной таблицы.

Далее эта система оформляется в виде симплекс-таблиц:

Порядок работы с симплекс таблицей

Алгоритм перехода к следующей таблице такой: просматривается последняя строка (индексная) таблицы и среди коэффициентов этой строки (исключая…  

Двойственные задачи линейного программирования.

F(x) = c1x1 + … + cmxn → max а11х1 + а12х2 + … + сm1хn ≤ в1 а21х1 + а22х2 + … + сm2хn ≤ в2

Биматричные игры. Основные понятия.

Вначале мы изучали игры с природой, а затем антагонистические игры. В антагонистических играх участники преследуют прямо противоположные интересы. В таких играх платежная матрица описывает выигрыш одного игрока, в тоже время проигрыш второго игрока. В реальности встречаются конфликты более общего характера. В них участники преследуют различные, но не обязательно противоположные интересы. И поскольку интересы не обязательно противоположны, то их поведение является более разнообразным. Такие игры в свою очередь разделяют на 2 вида: - бескоалиционные (некооперативные), - кооперативные

В бескоалиционных играх исключается сотрудничество между игроками, игроки принимают решения независимо друг от друга. А в кооперативных играх до начала игры игроки образуют коалиции и принимают взаимо-обязывающие соглашения о своих стратегиях. Некооперативные игры далее будем называть (Биматричными) Биматричная игра – подобна антагонистической игре и задается платежной матрицей, но теперь каждому игроку принадлежит своя матрица. Пусть игрок А имеет m стратегий [А1..А2…Аm], тогда игрок В имеет n стратегий [В1..В2..Вn]. Если игрок В применяет стратегию i, тогда игрок А применяет стратегию j , то в результате первый игрок получит выигрыш Аij а второй игрок получит выигрыш Вij. Общий вид платежных матриц игроков:

Платежная матрица игрока А

	В1	В2	…	Вn
A1	A11	A12	…	A1n
A2	A21	A22	…	A2n
…	…	…	…	…
Am	Am1	Am2	…	Amn

 

Платежная матрица игрока В

	В1	В2	…	Вn
A1	B11	B12	…	B1n
A2	B21	B22	…	B2n
…	…	…	…	…
Am	Bm1	Bm2	…	Bmn

 

Постановка задачи

 

Как и в антагонистических играх, требуется найти смешанные стратегии, которые являются оптимальными, т.е. необходимо найти вероятность:

Р1- частота принятия стратегии А1

Р2- частота принятия стратегии А2

Р3- частота принятия стратегии А3 Все эти величины положительны и их сумма = 1.

Аналогично и для игрока В:

 

q1- частота принятия стратегии B1

q2- частота принятия стратегии B2

q3- частота принятия стратегии B3 Все эти величины также положительны и их сумма = 1.

Формулы вычисления средних выигрышей Что бы найти среднее и максимальное значение, нужно каждое значение величины умножить на вероятность и результат сложить. Аij – соответствует вероятность Рi x qi

Отсюда: Ha (P,Q) = НB (P,Q) =

 

 

21. Примеры биматричных игр в экономике.

22. Равновесная ситуация. Теорема Нэша. Система неравенств, определяющая равновесную ситуацию.

Всякая биматричная игра имеет хотя бы одну точку равновесия, без доказательства. еорема 2. Выполнение неравенства (1) равносильно выполнению неравенств:

Неравенство 2. На(0,q) ≤ Ha (p*q*)

Ha(1,q) ≤ Ha (p*q*)

Неравенство 3.

НB(p*,0) ≤ HB (p*q*)

HB(p*,1) ≤ HB (p*q*)

Неравенство 2 означает, что неравенство 1.1 достаточно проверить для двух крайних значений ( когда р=0 и р=1).

Точнее говоря для чистых стратегий. Аналогично неравенство 3, это проверка неравенства 1.2 для чистых стратегий. Для нахождения точки равновесия будем решать неравенство (2 и 3) для этого воспользуемся формулой (*) Согласно этому представлению:

Ha(p*,q*) = Ср*q*-2p*+ Ɣq* + a22 (4)

Ha(0,q*) = Ɣq* + a22 (5)

Ha(1,q*) = Cq*- α + Ɣq* + a22 (6)

Первое неравенство (2) имеет вид:

Ha(p*,q*) - На(0,q*)≥0

или с учетом (4) и (5)

р*(Сq*- α) ≥0 (7)

Второе неравенство (2) имеет вид:

Ha(p*,q*) - На(1,q*)≥0 или с учетом (4) и (5) Ср*q* - αp* - (Cq*- α) ≥0 = Cq*-(p*-1) – α(p*-1) ≥0 (8)

Неравенство (8):

(р*-1)(Сq*- α) ≥0

p*(Cq*- α) ≥0 (9)

Аналогично решим неравенство (3)

Нв(p*q*) = Dp*q*- βq*+ Δ p + βq + B22 (10)

HB(p*q*) = Δ p+ B22 (11)

HB=(p*,1) = Dp*- β+ Δ p* + βq + B22 (12)

Первое неравенство (3)

Нв(р*,0) ≤ Нв(р*,q*)

Dp*q*- βq*≥0

q*(Dp*- β)≥0

Второе неравенство (3)

HB(p*q*) – HB (p*,1) ≥0

Учитывая (10) и (12)

Dp*q* - βp*-(Dp*-β) = p* x D(q*-1)- β(q*-1) ≥0

(q*-1)(Dp*- β) ≥0

q*(Dp*- β) ≥0

 

23. Решение биматричной игры.

Биматричная игра 2х2

 

А11	А12
А21	А22

 

А=

 

 

B11	B12
B21	B22

 

В =

 

Р – частота применения 1 игроком стратегии (А1)

1-Р – частота применения стратегии (А2)

q – частота применения стратеги (В1)

1- q – частота применения стратегии (В2)

Формулы

 

На (р, q) ; Нв (р, q)

 

1. На (р, q) = а11*(р q) + р(1- q) + а21*(1-р)q + а22*(1-р)(1- q)

 

На = (а11-а12-а21+а22)р q + (а12-а22)р + (а21-а22)* q + а22

 

3.Нв = (в11-в12-в21+в22)р q + (в12-в22)р + (в21-в22)* q + в22

Введем следующие обозначения:

 

С = А11- А12- А21+А22

D = B11- B12- B21+B22

α = A22-A12

β = B22-B21

Ɣ = А21-А22

Δ = B12-B22

 

Ha(p;q) = C*(pq) – αp+ Vq +A22

(*)

Hb(p;q) = D*(pq) – Δ p + βq + B22

Раздел II .

 

Определение: Пара чисел р* и q*, 0≤ р*≤ 1; 0 ≤ q*≤1.

Определим равновесие, если выполнены 2 условия;

1. (Неравенство)

1.1 На (рq) < Ha(p*,q*) Ɣ p ϵ [0;1]

1.2 HB(p*q) ≤ HB(p*q*)

 

где, На (средний выигрыш 1 го игрока)

НВ (средний выигрыш 2 го игрока)

 

Неравенство (1) означает стратегии (p*q*) – определяем равновесие, если отклонение одного из игроков или условие, что другой игрок сохраняет свой выбор приводит к тому, что выигрыш относившегося игрока только уменьшается, таким образом, отклонение от равновесия не выгодно самому игроку.

 

Кооперативные игры.

Теория кооперативных игр изучает тип коалиции который образуется в процессе игры. Обозначим через N множество всех 4 игроков, игроков нумерации. N=1,2,3…n. Коалиция показывает любое множество SCN S- по S множеств N.

Дележи в кооперативных играх.

Дележом называется вектор, который состоит из n- компонентов. X=(x1,х2…хn), вектор которой удовлетворяет условия: - (1*) - (2*)