Свойства функции распределения

1) 0 ≤ F(x) ≤ 1.

Действительно, так как функция распределения представляет собой вероятность, она может принимать только те значения, которые принимает вероятность.

2) Функция распределения является неубывающей функцией, то есть F(x₂) ≥ F(x₁) при х₂ > x₁.

Это следует из того, что F(x₂) = p(X < x₂) = p(X < x₁) + p(x₁ ≤ X < x₂) ≥ F(x₁).

3) В частности, если все возможные значения Х лежат на интервале [a, b], то F(x) = 0 при х ≤ а и F(x) = 1 при х ≥ b.

Действительно, X < a – событие невозможное, а X < b – достоверное.

4) Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [a, b], равна разности значений функции распределения на концах интервала:

p ( a < X < b ) = F(b) – F(a).

Справедливость этого утверждения следует из определения функции распределения (см. свойство 2).

Для дискретной случайной величины значение F(x) в каждой точке представляет собой сумму вероятностей тех ее возможных значений, которые меньше аргумента функции.

Задача 2. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания при одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти функцию распределения случайной величины Х – числа попаданий после двух выстрелов.

Решение. Составим ряд распределения. Очевидно, что Х может принимать три значения: 0, 1 и 2. Найдем их вероятности. При х = 0 (оба промахнулись) Р(х=0) = 0,4·0,3 = 0,12. При х=1 (первый попал, а второй промахнулся или первый промахнулся, а второй попал ) Р(х=1) = 0,6·0,3 + 0,4·0,7 = 0,46.

При х=2 (оба попали ) Р(х=2) = 0,6·0,7 = 0,42..

Следовательно, ряд распределения имеет вид:

Найдем функцию распределения случайной величины Х.

.

Соответственно график функции распределения имеет ступенчатый вид.

x

Рис. 4