Реферат Курсовая Конспект
Независимые случайные величины - Лекция, раздел Образование, Раздел 3. Дискретные случайные величины ДСВ Понятие О Независимых Случайных Величинах – Одно Их Важных Понятий Теории Вер...
|
Понятие о независимых случайных величинах – одно их важных понятий теории вероятностей. Остановимся несколько подробнее на понятиях о «зависимости» и «независимости» случайных величин.
Понятие «независимости» случайных величин, которым мы пользуемся в теории вероятностей, несколько отличается от обычного понятия «зависимости» величин, которым мы оперируем в математике. Действительно, обычно под «зависимостью» величин подразумевают только один тип зависимости - полную, жесткую, так называемую - функциональную зависимость. Две величины и называются функционально зависимыми, если, зная значение одной из них, можно точно указать значение другой.
В теории вероятностей мы встречаемся с другим, более общим, типом зависимости — с вероятностной или «стохастической» зависимостью. Если величина связана с величиной вероятностной зависимостью, то, зная значение , нельзя указать точно значение , а можно указать только ее закон распределения, зависящий от того, какое значение приняла величина .
Вероятностная зависимость может быть более или менее тесной; по мере увеличения тесноты вероятностной зависимости она все более приближается к функциональной. Таким образом, функциональную зависимость можно рассматривать как крайний, предельный случай наиболее тесной вероятностной зависимости. Другой крайний случай - полная независимость случайных величин. Между этими двумя крайними случаями лежат все градации вероятностной зависимости - от самой сильной до самой слабой. Те физические величины, которые на практике мы считаем функционально зависимыми, в действительности связаны весьма тесной вероятностной зависимостью: при заданном значении одной из этих величин другая колеблется в столь узких пределах, что ее практически можно считать вполне определенной. С другой стороны, те величины, которые мы на практике считаем независимыми, в действительности часто находятся в некоторой взаимной зависимости, но эта зависимость настолько слаба, что ею для практических целей можно пренебречь.
Вероятностная зависимость между случайными величинами очень часто встречается на практике. Если случайные величины и находятся в вероятностной зависимости, это не означает, что с изменением величины величина изменяется вполне определенным образом; это лишь означает, что с изменением величины величина имеет тенденцию также изменяться (например, возрастать или убывать при возрастании ). Эта тенденция соблюдается лишь «в среднем», в общих чертах, и в каждом отдельном случае от нее возможны отступлении.
Рассмотрим, например, две такие случайные величины: - рост наугад взятого человека, - его вес. Очевидно, величины и находятся в определенной вероятностной зависимости; она выражается в том, что в общем люди с большим ростом имеют больший вес. Можно даже составить эмпирическую формулу, приближенно заменяющую эту вероятностную зависимость функциональной. Такова, например, общеизвестная формула, приближенно выражающая зависимость между ростом и весом:
.
Формулы подобного типа, очевидно, не являются точными и выражают лишь некоторую среднюю, массовую закономерность, тенденцию, от которой в каждом отдельном случае возможны отступления.
В вышеприведенном примере мы имели дело со случаем явно выраженной зависимости. Рассмотрим теперь такие две случайные величины: - рост наугад взятого человека; - его возраст. Очевидно, для взрослого человека величины и можно считать практически независимыми; напротив, для ребенка величины и являются зависимыми.
Приведем еще несколько примеров случайных величин, находящихся в различных степенях зависимости.
1. Из камней, составляющих кучу щебня, выбирается наугад один камень. Случайная величина - вес камня; случайная величина - наибольшая длина камня. Величины и находятся в явно выраженной вероятностной зависимости.
2. Производится стрельба ракетой в заданный район океана. Величина - продольная ошибка точки попадания (недолет, перелет); случайная величина - ошибка в скорости ракеты в конце активного участка движения. Величины и явно зависимы, так как ошибка является одной из главных причин, порождающих продольную ошибку .
3. Летательный аппарат, находясь в полете, измеряет высоту над поверхностью Земли с помощью барометрического прибора. Рассматриваются две случайные величины: - ошибка измерения высоты и - вес топлива, сохранившегося в топливных баках к моменту измерения. Величины и практически можно считать независимыми.
Определим в двух формах понятие независимости для дискретных случайных величин.
Определение 3. Случайные величины и называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какие значение приняла другая. В противном случае величины и называются зависимыми.
Определение 3а. Две дискретные случайные величины и называются независимыми, если для всех пар i, j выполняется соотношение
,
где i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ..., s.
Определение 3а можно распространить на n случайных величин.
Определение 4. Случайные величины называются независимыми, если для всех
Другими словами, набор есть набор независимых событий.
Определение 5. Назовем произведением независимых случайных величин Х и Y случайную величину XY, возможные значения которой равны произведениям всех возможных значений Х на все возможные значения Y, а соответствующие им вероятности равны произведениям вероятностей сомножителей.
xi | x1 | x2 |
pi | p1 | p2 |
уi | у1 | у2 |
gi | g1 | g2 |
Тогда ряд распределения для XY выглядит так:
ХY | x1y1 | x2y1 | x1y2 | x2y2 |
p | p1g1 | p2g1 | p1g2 | p2g2 |
Определение 6. Определим сумму случайных величин Х и Y как случайную величину Х + Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y; вероятности таких сумм равны произведениям вероятностей слагаемых (для зависимых случайных величин – произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго).
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Тема Понятие ДСВ Распределение ДСВ Функции от ДСВ... Лекция Понятие случайной величины понятие дискретной случайной величины примеры ДСВ распределение ДСВ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Независимые случайные величины
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов