Плоскость

Положение плоскости в пространстве относительно выбранной системы координат определяется ее расстоянием от начала

координат ( ) и единичным вектором, который перпендику- лярен плоскости и направлен от начала координат к плоскости

(рис.1).

Рис.1

 

Возьмем на плоскости произвольную точку . При движении точки по плоскости ее радиус-вектор меняется, но он все время связан некоторым условием, а именно:

(1)

Так как , то

(2)

 

Уравнение (2) - это нормальное уравнение плоскости в вектор-ной форме.

Если воспользоваться тем, что

то получим нормальное уравнение плоскости в координатной форме: (3)

Утверждение 1.Любое уравнение первой степени с тремя пере-менными определяет плоскость.

Доказательство.Рассмотрим уравнение 1-ой степени с тремя переменными:

 

(4)

 

Пусть - проекции постоянного вектора на оси коор-динат ; - проекции радиус-вектора точки , тогда уравнение примет вид: Рассмотрим три случая: 1) пусть , разделим левую и правую части уравнения на , получим:

обозначим , так как , то , получаем

2) пусть , разделим левую и правую части уравнения на , уравнение примет вид:

обозначим >0 , тогда вновь получим

3) пусть , в этом случае левую и правую части уравнения можно разделить на или на , тогда уравнение примет вид: или .

То есть линейное уравнение 1-ой степени с тремя переменными всегда может быть приведено к уравнению, являющемуся нор-мальным уравнением плоскости, значит оно определяет плос-кость.

Линейное уравнение 1-ой с тремя переменными (4) называется общим уравнением плоскости.

Из предыдущих рассуждений следует, что вектор , проекция-ми которого на оси координат являются коэффициенты при переменных общего уравнения плоскости, коллинеарен единичному вектору , перпендикулярному плоскости, будет перпендикулярен плоскости.

 

Определение 1. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называется вектором нормали плоскости.

Чтобы привести общее уравнение плоскости к нормальному,

надо умножить его на нормирующий множитель:

(5)

знак противоположен знаку коэффициента , если , то знак выбирается произвольно; получаем:

Следовательно, , тогда: (6)

Если , то берется верхний знак, если , то нижний знак.