Прямая в пространстве.

Прямая в пространстве может быть получена в результате пересечения двух плоскостей, то есть задана аналитически системой двух уравнений первой степени с тремя переменными.

 

 

Рис.9

 

L: (25)

 

Уравнения (25) называются общими уравнениями прямой в пространстве.

Положение прямой в пространстве определено, если задана точка , через которую проходит прямая, и направ-

ляющий вектор прямой .

Рис.10

Возьмем произвольную точку на прямой , векторы и коллинеарны, то есть , если направле-ния векторов совпадают, то , в противном случае .

так как , то

(26)

это векторное уравнение прямой в пространстве, переходя от векторного уравнения к координатным уравнениям, получим

(27)

это параметрические уравнения прямой в пространстве, - параметр. Если исключить из уравнений (27) параметр, получим канонические уравнения прямой в пространстве

 

(28)

Как перейти от общих уравнений прямой к каноническим?

1. Надо из системы (25) найти координаты точки, через которую проходит прямая. Так как система содержит два уравнения, а пе-ременных три, одну из переменных нужно задать произвольным образом, например, , а две другие найти из системы.

2. Так как прямая лежит и в одной, и в другой плоскости, то век-торы нормали этих плоскостей перпендикулярны направляю-щему вектору прямой, следовательно, , тогда

 

Пример 4.Даны общие уравнения прямой . Составить канонические уравнения этой прямой.

Решение.Найдем точку, через которую проходит данная прямая, для этого в системе положим, тогда решая сис-тему, получим . Теперь найдем координаты направляющего вектора: ,

составляем канонические уравнения прямой:

.

 

Дана точка и прямая . Надо найти расстояние от точки

до прямой.

Рис.11

Искомое расстояние – это высота параллелограмма, построен-ного на векторах и . Найдем площадь параллело-грамма тогда

(29)