Однородные системы - раздел Образование, Определители 2-го порядка ...
(19.1)
Ее матричная форма записи есть: (19.2)
Аx – линейный оператор, переводящий множество столбцов в множество столбцов по формуле .
Теорема 19.1:
Пусть– решение, а– решение, тогда- решения.
, а решение системы.
(19.7)
Её матричная форма записи:
(19.8)
Определения:
Система (19.7) - однородная система линейных уравнений.
Система (19.1) - неоднородная система линейных уравнений.
(при , т.е. )
Т.е. всякое решение однородной системы (19.8) является ядром линейного оператора. Поэтому множество решений однородной системы (19.8) является линейным пространством.
Теорема 19.2:Множество решений системы (19.7) – линейное пространство размерностью n-r, где r – ранг матрицы А.
Определение:Базисным называется не равный нулю минор матрицы А, порядок которого равняется рангу матрицы.
Определение:Базис во множестве решений однородной системы (19.8) называется фундаментальной системой решений.
Пусть базисный минор содержит столбцы . Тогда – базисные неизвестные, а остальные – свободные неизвестные. Будем считать далее, что неизвестные – базисные, а– свободные неизвестные.
Положим – матрица, соответствующая базисному минору у матрицы системы (19.7), а – остальные столбцы матрицы этой системы с противоположным знаком. Тогда, перенеся члены со свободными неизвестными в правые части всех уравнений системы (19.7), получим уравнение:
(19.9)
А так как матрица в левой части (19.9) - невырожденная, то система (19.9) имеет единственное решение, т.е. каждому набору свободных неизвестных соответствует единственный набор базисных неизвестных.
Доказательство теоремы 19.2:
Рассмотрим наборы:
(19.10)
Пусть – решение , – решение , …, – решение системы
Пусть … (19.12)
Покажем, что – базис в пространстве решений (19.7).
1)Линейная независимость:
Пусть, т.е.
или (19.13)
Сравнивая в левых и правых частях столбцов равенство (19.7) их нижних n-r чисел, получаем, что , т.е. система – линейно независима.
2) Полнота
Пусть – произвольное решение системы (7), тогда имеем (19.14)
(докажите равенство (19.14) используя определение в (19.10))
Но согласно формуле (19.9), базисные неизвестные однозначно определяются из системы
(19.15)
поэтому из теоремы 19.1 и равенства (19.15) имеем: (19.16)
Соединяя столбцы в равенство (19.14) и (19.1Б) (сверху напишем столбцы из (19.16), снизу из (19.14)) и используя определение (19.12), получим: (19.17)
Равенство (19.17) означает, что всякое решение системы (19.7) выражается через решения по формуле (19.17). Поэтому совокупность решений – полна, и, сопоставляя с ранее доказанной линейной независимостью , получим, что – базис, имеющий (n-r) решений. Теорема 19.2 полностью доказана.
Определители го порядка... Определителем го порядка является выражение вида... где и некоторые числа Определители го порядка Правило Саррюса Первые свойств...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Однородные системы
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Определители 3-го порядка. Правило Саррюса
Правило Саррюса действует для вычисления определителей 3-го порядка (но не выше!). Работает оно так: складываются произведение элементов на главной диагонали (той, что следует из верхнего левого уг
Первые 10 свойств определителя
1) При транспонировании (замене строк на столбцы и наоборот) определитель не меняется. Для доказательства нужно найти символическую формулу определителя хотя бы 3-го
Миноры и дополнения
минором является определитель, полученный из данного в результате "вычёркивания"
Метод математической индукции
Обозначим через P(n) некоторое высказывание (например, «в Лондоне опять идёт дождь»). Тогда
Теорема: пусть про некоторые свойства высказывания, действующие на некотором промежутке,
Верхне треугольный определитель
Определение: верхний треугольный определитель (ВТО) - определитель, у которого все элементы ниже главной диагонали равны нулю:
Сложение матриц
Сложение матриц производится с матрицами одного порядка.
Определение: Если А=
Б) Умножение матриц
Отметим, что число столбцов первого множителя А должно совпадать с числом строк второго множителя В (иначе произведение А
Системы линейных уравнений
Определенность системы линейных уравнений. Совместность, несовместность (6.1)
Определ
Понятие элементарного преобразования
Элементарным преобразованием строк 1-го типа называется:
либо 1) замена строк местами;
либо 2) умножение строки на число
Эквивалентные матрицы и системы
Матрицы А и В называются эквивалентными, если одну из них можно получить из другой с помощью конечного числа элементарных преобразований строк.
Соответственно разли
Диагональные матрицы
Матрица называется диагональной, если все её элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.
Имеет место следующая теорема:
Всякая невы
Определение ступенчатой матрицы
Как было упомянуто раньше (см. п.9.3;определение 9.5), ступенчатой называется матрица такого вида:
Доказательство теорем
Доказательство теоремы 16.1:
(Смотри п14.2(§14) правило 1) определение)
Если
Решение неоднородных систем
Теорема 19.3: Общее решение неоднородной системы (19.1) представляется в виде сумм частного решения (19.1) и общего решения соответствующей однородной системы
Общее уравнение плоскости и его исследование
Здесь мы будем изучать общее уравнение плоскости (36.4), т.е. рассматривать как особые случаи, когда какие-либо (какой- либо) из коэффициентов A,B,C или D обращается в ноль (с учётом ограничительно
Уравнение плоскости в отрезках
В §36 (36.2) было показано, что уравнение плоскости, не параллельной ни одной из координатных осей и не проходящей через начало координат, можно свести к виду:
Общее уравнение прямой в пространстве
Как уже сообщалось в параграфе 37, система уравнений (37.3) с условием r(β)=2 задаёт в пространстве прямую линию поэтому система
А) эллипсоид
Эллипсоидомназывается поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению
Б) Однополостный гиперболоид
Однополостным гиперболоидом называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат имеют уравнение
В) Двуполостный гиперболоид
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению
Д) Гиперболический параболоид
Гиперболический параболоидомназывается поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению.
Эллиптический цилиндр
Определение 47.8 Эллиптическим цилиндром называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе удовлетворяют уравнению
II. Гиперболический цилиндр
Определение 47.9 Гиперболическим цилиндромназывается поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению:
III. Параболический цилиндр
Определение 47.10. Параболическим цилиндром называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению:
Ж) Конус второго порядка
Конусом второго порядка называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению
(19.1) 
(19.2)
в множество столбцов 
по формуле 
.
– решение
, а
– решение
, тогда
- решения.
, а 
решение системы 
.
(19.7)
(19.8)
, т.е. 
)
. Тогда 
– базисные неизвестные, а остальные – свободные неизвестные. Будем считать далее, что неизвестные 
– базисные, а
– свободные неизвестные.
– матрица, соответствующая базисному минору у матрицы системы (19.7), а 
– остальные столбцы матрицы этой системы с противоположным знаком. Тогда, перенеся члены со свободными неизвестными в правые части всех уравнений системы (19.7), получим уравнение:
(19.9)
(19.10)
– решение 
, 
– решение 
, …, 
– решение системы 
… 
(19.12)
– базис в пространстве решений (19.7).
, т.е. 
(19.13)
, т.е. система 
– произвольное решение системы (7), тогда имеем 
(19.14)
в (19.10))
однозначно определяются из системы
(19.15)
(19.16)
(19.17)
Новости и инфо для студентов