Свойства векторного произведения .(антикоммутативность, линейность и однородность)
Свойства векторного произведения .(антикоммутативность, линейность и однородность) - раздел Образование, Определители 2-го порядка 1. ...
1.(антикоммутативность)
2.(однородность)
3.и(адютивность (линейность))
Доказательство свойств:
1)
Доказательство: и и , а так жет.е. и ортогональны одним тем же плоскостям.
Поэтому и(это мы определяем по правилу правой руки) , а (см. Рис25.1) следовательно
2)
Доказательство: Рассмотрим следующие случаи ;;
1) ,
Рис 25.2
=, а так как , ибо они ортогональны плоскости параллелограмма OADB (см. рисунок 25.2), а так же они имеют одинаковое направление ,что можно определить направление по правилу правой руки то >0
2)
Рис 25.3
(см. рис. 25.3)
(25.1),
ибо и ортогональны одной и той же плоскости параллелограмма OABD, (25.2)
(25.3)
, ибо эти параллелограммы имеют одинаковые стороны и и общую высоту опущенную из вершины B. Поэтому из (25.2) и (25.3) следует , что:
Читателю рекомендуем самостоятельно по правилу правой руки установить, то, что они направлены в разные стороны.
что и поэтому и случай доказан.
3)тогда ,и для
можно применить случай 1). Из случаев 1)и 2) имеем:
(
(*)Свойство2)Для второго множителя можно доказать , используя уже доказанную антикоммутативность ( Свойство1)и только что полученное свойство2) для первого множителя:
3) , Рассмотрим следующие случаи:
А),
Рис 25.4
Пололожим , , ; аналогично
(25.7)
Тогда сумма диагональ параллелограмма OACB (25.4)
(25.5)
Также : и по определению векторного произведения , и и (см 25.7)тогда параллелограмм получится из параллелограмма OACB поворотом последнего на угол ( по часовой стрелке). Поэтому и диагональ
и =(напомним, что и , т.е.
(25.6)
Подставляя в (25.6) вместе и их значения из формулы (25.4) и (25.6) получим
случай А) доказан
Б) введем вектор
условию А) поэтому
, и случай Б доказан
В дальнейшем случае нам понадобится Лемма25.1:
Обозначим запроекцию вектора на плоскость , перпендикулярную вектору (эта проекция сама является вектором, которая на рис 25.5 обозначим за ).
Тогда имеет равенство:
(25.8)
Доказательство Леммы 25.1:
Рис 25.5
( см. рис 25.5). Поэтому ортогональна той же плоскости параллелограмма OACB (см. рис 25.5 где вектор ). Поэтому они коллинеарные и по правилу правой руки определяем ,что
(25.9)
Их длины(25.10)
(25.11)
Но параллелограмм OACB и прямоугольник имеет одинаковые площади, ибо они имеют общую сторону OA и одинаковую высоту( эта высота равна AD).
Поэтому из (25.10) и (25.11) получаем , что
(25.12)
Тогда из (25.12) и (25.9) получим , что
Для доказательства правой части (25.8) можно использовать антикоммутативность и только что полученное равенство.
Лемма 25.1 доказана.
Продолжим доказательство свойства 3
В) Так как и , то вектора , и удовлетворяют уже доказанному свойству Б. А так как проекция суммы равна сумме проекций( это было доказано в §20), т.е из Леммы 25.1 получим :
Для доказательства равенства используем антикоммутативность векторного произведения и только что доказанное равенство:
Определители го порядка... Определителем го порядка является выражение вида... где и некоторые числа Определители го порядка Правило Саррюса Первые свойств...
Определители 3-го порядка. Правило Саррюса
Правило Саррюса действует для вычисления определителей 3-го порядка (но не выше!). Работает оно так: складываются произведение элементов на главной диагонали (той, что следует из верхнего левого уг
Первые 10 свойств определителя
1) При транспонировании (замене строк на столбцы и наоборот) определитель не меняется. Для доказательства нужно найти символическую формулу определителя хотя бы 3-го
Миноры и дополнения
минором является определитель, полученный из данного в результате "вычёркивания"
Метод математической индукции
Обозначим через P(n) некоторое высказывание (например, «в Лондоне опять идёт дождь»). Тогда
Теорема: пусть про некоторые свойства высказывания, действующие на некотором промежутке,
Верхне треугольный определитель
Определение: верхний треугольный определитель (ВТО) - определитель, у которого все элементы ниже главной диагонали равны нулю:
Сложение матриц
Сложение матриц производится с матрицами одного порядка.
Определение: Если А=
Б) Умножение матриц
Отметим, что число столбцов первого множителя А должно совпадать с числом строк второго множителя В (иначе произведение А
Системы линейных уравнений
Определенность системы линейных уравнений. Совместность, несовместность (6.1)
Определ
Понятие элементарного преобразования
Элементарным преобразованием строк 1-го типа называется:
либо 1) замена строк местами;
либо 2) умножение строки на число
Эквивалентные матрицы и системы
Матрицы А и В называются эквивалентными, если одну из них можно получить из другой с помощью конечного числа элементарных преобразований строк.
Соответственно разли
Диагональные матрицы
Матрица называется диагональной, если все её элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.
Имеет место следующая теорема:
Всякая невы
Определение ступенчатой матрицы
Как было упомянуто раньше (см. п.9.3;определение 9.5), ступенчатой называется матрица такого вида:
Решение неоднородных систем
Теорема 19.3: Общее решение неоднородной системы (19.1) представляется в виде сумм частного решения (19.1) и общего решения соответствующей однородной системы
Общее уравнение плоскости и его исследование
Здесь мы будем изучать общее уравнение плоскости (36.4), т.е. рассматривать как особые случаи, когда какие-либо (какой- либо) из коэффициентов A,B,C или D обращается в ноль (с учётом ограничительно
Уравнение плоскости в отрезках
В §36 (36.2) было показано, что уравнение плоскости, не параллельной ни одной из координатных осей и не проходящей через начало координат, можно свести к виду:
Общее уравнение прямой в пространстве
Как уже сообщалось в параграфе 37, система уравнений (37.3) с условием r(β)=2 задаёт в пространстве прямую линию поэтому система
А) эллипсоид
Эллипсоидомназывается поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению
Б) Однополостный гиперболоид
Однополостным гиперболоидом называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат имеют уравнение
В) Двуполостный гиперболоид
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению
Д) Гиперболический параболоид
Гиперболический параболоидомназывается поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению.
Эллиптический цилиндр
Определение 47.8 Эллиптическим цилиндром называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе удовлетворяют уравнению
II. Гиперболический цилиндр
Определение 47.9 Гиперболическим цилиндромназывается поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению:
III. Параболический цилиндр
Определение 47.10. Параболическим цилиндром называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению:
Ж) Конус второго порядка
Конусом второго порядка называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению
Новости и инфо для студентов