Каноническое уравнение прямой как уравнение прямой в пространстве проходящей через заданную точку и коллинеарной заданному вектору - раздел Образование, Определители 2-го порядка Дано:
...
Все темы данного раздела:
Определители 3-го порядка. Правило Саррюса
Правило Саррюса действует для вычисления определителей 3-го порядка (но не выше!). Работает оно так: складываются произведение элементов на главной диагонали (той, что следует из верхнего левого уг
Первые 10 свойств определителя
1) При транспонировании (замене строк на столбцы и наоборот) определитель не меняется. Для доказательства нужно найти символическую формулу определителя хотя бы 3-го
Миноры и дополнения
минором является определитель, полученный из данного в результате "вычёркивания"
Метод математической индукции
Обозначим через P(n) некоторое высказывание (например, «в Лондоне опять идёт дождь»). Тогда
Теорема: пусть про некоторые свойства высказывания, действующие на некотором промежутке,
Верхне треугольный определитель
Определение: верхний треугольный определитель (ВТО) - определитель, у которого все элементы ниже главной диагонали равны нулю:
Сложение матриц
Сложение матриц производится с матрицами одного порядка.
Определение: Если А=
Б) Умножение матриц
Отметим, что число столбцов первого множителя А должно совпадать с числом строк второго множителя В (иначе произведение А
Системы линейных уравнений
Определенность системы линейных уравнений. Совместность, несовместность (6.1)
Определ
Вопрос.
Рассмотрим систему:
(8.1)
Понятие элементарного преобразования
Элементарным преобразованием строк 1-го типа называется:
либо 1) замена строк местами;
либо 2) умножение строки на число
Эквивалентные матрицы и системы
Матрицы А и В называются эквивалентными, если одну из них можно получить из другой с помощью конечного числа элементарных преобразований строк.
Соответственно разли
Ступенчатые матрицы; сведение матрицы к ступенчатой
Ступенчатой называется матрица такого вида:
/при переходе к следующей строке «вниз» идем не более, чем на один ненулев
Диагональные матрицы
Матрица называется диагональной, если все её элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.
Имеет место следующая теорема:
Всякая невы
Определение ступенчатой матрицы
Как было упомянуто раньше (см. п.9.3;определение 9.5), ступенчатой называется матрица такого вида:
Доказательство необходимости теоремы Кронеккер-Капелли
(её достаточность будет доказана в конце §19)
Отметим, что r(B)≥r(A), ибо если r(B)=k, то всякий
А) вектор как направленный отрезок
Длина отрезка |АВ| - длина вектора
Под вектором обы
Умножение вектора на число
Правила(Определения):
1) ;
2)
Свойства линейного пространства
1) +
Ассоциативность
С
Б) Формулировки теорем о линейной зависимости коллениарных и компланарных векторов
Теорема 16.0: – л.з.
В) Формулировка теоремы о линейной зависимости четырех векторов.
Теорема 16.3:4 вектора всегда линейно зависимы.
Доказательство:
Пусть
Формулировки теорем о линейной зависимости коллениарных и компланарных векторов
Теорема 16.0: – л.з.
Доказательство теорем
Доказательство теоремы 16.1:
(Смотри п14.2(§14) правило 1) определение)
Если
Однородные системы
(19.1)
Решение неоднородных систем
Теорема 19.3: Общее решение неоднородной системы (19.1) представляется в виде сумм частного решения (19.1) и общего решения соответствующей однородной системы
Доказательство достаточности теоремы Кронеккер-Капелли
Полагая в системе (19.2): Ax = b все свободные неизвестные нулями, получим систему: (19.18),
где
Ортонормированный базис
Определение:Векторы и
Скалярное произведение векторов и его свойства
Определение:
(23.6) – скалярное произведение
Вычисление скалярного произведения через координаты сомножителей
Пусть
Вычисление угла между векторами
(24.11)
Смотрите формулы (23.6), (24.9), (24.10)
Проекция вектора
Определение векторного произведения
Обозначение векторного произведения :
Свойства векторного произведения .(антикоммутативность, линейность и однородность)
1. (антикоммутативность)
2.
Координаты сомножителей
Вектор , а вектор
Определение смешанного произведения
Определение. Смешанным произведением векторовназывается величина
Свойства смешанного произведения
1. -перестановка сомножителей меняет знак.
Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов
Теорема - компланарная тогда и только тогда когда
Смешанное произведение векторов в координатной форме
Общее уравнение плоскости и его исследование
Здесь мы будем изучать общее уравнение плоскости (36.4), т.е. рассматривать как особые случаи, когда какие-либо (какой- либо) из коэффициентов A,B,C или D обращается в ноль (с учётом ограничительно
Взаимное расположение двух плоскостей
Даны плоскости: :
Угол между двумя плоскостями
: ;
Условие перпендикулярности
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и коллинеарной двум заданным неколлинеарным векторам
Уравнение плоскости, проходящей через две заданные точки и коллинеарной заданному ненулевому вектору
Дано:
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
Уравнение плоскости в отрезках
В §36 (36.2) было показано, что уравнение плоскости, не параллельной ни одной из координатных осей и не проходящей через начало координат, можно свести к виду:
Расстояние от точки до плоскости
Пусть дана плоскость : и точк
Общее уравнение прямой в пространстве
Как уже сообщалось в параграфе 37, система уравнений (37.3) с условием r(β)=2 задаёт в пространстве прямую линию поэтому система
Параметрическое уравнение прямой в пространстве
Обозначим величину, стоящую в равенстве (40.2), за t. Получим уравнение
(40.3)
Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду
Пусть задано общее уравнение прямой
:
Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки
Дано
Каноническо
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Взаимное расположение прямой и плоскости
Дано:
прямая
,
Угол между прямой и плоскостью. Условие их перпендикулярности
Заметим, что (см. рис. 44.2) Поэтому (см. формулу (24.11))
Точка пересечения прямой и плоскости
Если задано общее уравнение прямой
Расстояние от точки до прямой в пространстве
Дано: точка M1(x1; y1; z1) и прямая
Расстояние между скрещивающимися прямым
А) эллипсоид
Эллипсоидомназывается поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению
Б) Однополостный гиперболоид
Однополостным гиперболоидом называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат имеют уравнение
В) Двуполостный гиперболоид
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению
Д) Гиперболический параболоид
Гиперболический параболоидомназывается поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению.
Е) Цилиндрические поверхности второго порядка
Цилиндрическойбудем называть поверхность, удовлетворяющей следующему условию:
Существует такая прямая линия
Эллиптический цилиндр
Определение 47.8 Эллиптическим цилиндром называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе удовлетворяют уравнению
II. Гиперболический цилиндр
Определение 47.9 Гиперболическим цилиндромназывается поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению:
III. Параболический цилиндр
Определение 47.10. Параболическим цилиндром называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению:
Ж) Конус второго порядка
Конусом второго порядка называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению
З) Распадающиеся и вырожденные поверхности второго порядка
Осталось рассмотреть множества, заданные уравнениями (35.21), (35.23), (35.30), (35.31), (35.32), (47.7), (47.22) и (35.20)
Определение 47.16.Поверхность второго порядк
Новости и инфо для студентов