Дотичні напруження при крученні для стержня круглого чи кільцевого перерізу

Попередньо розглянемо експериментальні результати кручення стержнів круглого перерізу. На валу (рис. 3а) відзначимо утворюючі (меридіани) та поперечні перерізи (паралелі):

 

Рисунок 3

 

1. При крученні поперечні перерізи стержня повертаються навколо його осі і відносно один одного.

2. Твірні повертаються на один і той же кут . Квадрати перетворюються в ромби, прямі кути змінюються, як і у випадку чистого зсуву (рис. 3а). Це свідчить про те, що виділений елементарний об’єм будь-якого шару вала знаходиться в умовах чистого зсуву.

3. При крученні стержня круглого перерізу дотримується гіпотеза плоских перерізів: переріз плоский і нормальний до осі до деформації залишається плоским і нормальним до осі в процесі деформації.

4. Відстані між перерізами в процесі деформації не змінюються (), це підтверджує відсутність у перерізі нормальних напружень.

5. Довжина і прямолінійність радіусів перерізів не порушується, тобто дотичні напруженняу будь-якій точці перерізу перпендикулярні радіусу (рис. 3б).

Розглянемо стержень діаметром , довжиною , що навантажений моментом (рис. 4а). На відстані виділимо елемент довжиною і розглянемо його рівновагу (рис. 4б). У лівому перерізі прикладемо діючий у ньому крутний момент , а в правому перерізі замінимо напруженням, що діє на елементарній площадці з координатами ,, як показано на рис. 4б.

 

 

Рисунок 4

 

Вважаючи, що початок координат співпадає з центром ваги О перерізу, запишемо рівняння статичної рівноваги від елементарної сили , що діє на площадці (результуюча сила ):

 

(1.2)

(1.3)

. (1.4)

 

Оскільки невідомі величина і закон розподілу дотичного напруження , кут кручення, положення нуля напружень, то рівняння рівноваги розв’язати неможливо. Таким чином, задача є статично невизначеною.

Для розкриття статичної невизначуваності проведемо геометричний аналіз деформацій при крученні. Для цього з нескінченно малої ділянки вала довжиною виділимо нескінченно тонке кільце товщиною (рис. 4в). Умовно вважаємо, що лівий переріз нерухомий. Правий переріз нескінченно малого циліндра повернеться навколо осі на кут , причому назвемо абсолютним кутом закручування, який є переміщенням при крученні. Твірні і на бічній поверхні циліндра переміщаються в положення і відповідно, зміщаючись на кут зсуву .

Обчислимо довжину дуги (рис. 4в), розглядаючи спочатку криволінійний трикутник аbb₁: , тому що у межах малих пружних деформацій . Розглядаючи потім криволінійний трикутник Оbb₁, виявимо, що величина дуги рівна . Нехтуючи нескінченно малими величинами другого порядку, одержуємо , звідки . Вводячи відносний кут закручування

 

, (1.5)

 

одержимо рівняння спільності деформацій при крученні:

 

(1.6)

 

Оскільки в нескінченно малому елементі виникає напружений стан (рис. 4г), то в межах малих деформацій виконується закон Гука при зсуві:

 

(1.7)

 

Підставляючи вираз (1.6) у (1.7), одержимо

 

. (1.8)

 

Остання залежність виражає закон Гука при крученні, на підставі якого можна зробити висновок про те, що дотичні напруження в перерізі змінюються за лінійним законом – пропорційно радіусу .

Підставляючи залежність (1.8) у рівняння (1.2) і з урахуванням того, що і є постійними величинами, а , одержимо:

 

 

Після аналогічної підстановки залежності (1.8) у рівняння (1.3) одержимо:

 

 

З останніх рівнянь випливає, що статичні моменти , площі перерізу щодо осей , дорівнюють нулю, оскільки і не дорівнюють нулю.

Статичні моменти площі тільки відносно центральних осей дорівнюють нулю. Таким чином, осі , є центральними осями перерізу. Іншими словами, центр кручення збігається з центром ваги перерізу.

Підставляючи залежність (1.8) у рівняння (1.4), і з урахуванням того, що інтеграл – полярний момент інерції перерізу, одержимо:

 

,

 

а відносний кут закручування приймає вигляд

 

(1.9)

 

Величина називається жорсткістю стержня при крученні. З виразу (1.8) одержуємо відносний кут закручування Дорівнюючи праві частини останніх виразів, одержуємо формулу для визначення дотичних напружень при крученні стержня круглого чи кільцевого перерізів:

(1.10)

З рівняння (1.5) з урахуванням виразу (1.9) одержуємо, що кут закручування дорівнює

 

 

Отримане рівняння є законом Гука при крученні для абсолютного переміщення – кута закручування. Після інтегрування по довжині стержня одержимо, що в даному випадку абсолютний кут закручування стержня можна обчислити за формулою

 

(1.11)