Кручення тонкостінних стержнів

Характерною геометричною рисою тонкостінних стержнів є те, що їхня товщина істотно менше інших лінійних розмірів. Тонкостінним стержнем називається такий, для якого виконується умова , де – мінімальний поперечний розмір перерізу в плані, а – найбільша товщина контуру профілю (рис. 13а).Серединна лінія профілю – це геометричне місце точок, розташованих на серединах товщин контуру профілю. Якщо серединна лінія являє собою замкнутий контур (рис. 13б), то стержень називається стержнем замкнутого (закритого) профілю (перерізу). Якщо серединна лінія являє собою незамкнутий контур, то стержень називається стержнем відкритого профілю (рис. 13в).

 

Рисунок 13

 

1.10.1. Кручення стержнів закритого профілю

Наближений розрахунок кручення таких тонкостінних стержнів заснований на гіпотезі Бредта про те, що дотичні напруження в поперечному перерізі розподіляються по товщині стінки рівномірно і спрямовані паралельно дотичній до серединної лінії контуру (рис. 13б). Дотичні напруження в будь-якій точці замкнутого профілю довільної форми з перемінною товщиною стінок визначаються за формулою Бредта:

(1.30)

 

де – площа, обмежена серединною лінією профілю (рис. 13б).

Найбільше напруження виникає в тому місці контуру, де товщина стінки профілю перерізу є найменшою . Умова міцності в цьому випадку запишеться у вигляді

(1.31)

Абсолютний кут закручування стержня довжиною визначається за фор-мулою

(1.32)

де – контурний інтеграл, береться по довжині S серединної лінії контуру профілю. Якщо товщина профілю постійна , то , де S – довжина контуру серединної лінії. Тоді формула для повного кута закручування прийме вигляд:

(1.33)

 

1.10.1. Кручення стержнів відкритого профілю

При розрахунку стержнів відкритого профілю варто розрізняти прості і складені перерізи. Приклади простих профілів (перерізів) наведені на рис. 14.

 

Рисунок 14

 

Ці профілі характеризуються тим, що можуть бути розгорнуті у витягнутий прямокутник висотою S і шириною d. Для вузького прямокутного перерізу (рис. 15), коли , коефіцієнти і моменти опору та інерції запишуться як , і формули (1.23)–(1.25) для визначення максимальних дотичних напружень , відносного і абсолютного кутів закручування запишуться у вигляді

 

; ; .

 

Епюра розподілу дотичних напружень зображена на рис. 15. По всій довжині профілю , по ширині поперечного перерізу дотичні напруження змінюються за лінійним законом.

 

Рисунок 15

 

Приведеними формулами можна користуватися і для тонкостінних незамкнутих профілів з криволінійним контуром постійної товщини , якщо замість підставити довжину серединної лінії перерізу, а замість – товщину профілю (рис. 14).

Для складених стержнів відкритого профілю, що складаються з декількох вузьких прямокутників різної товщини (типу швелер, кутник, двотавр) величину моменту інерції при крученні можна визначити за формулою

, (1.34)

 

де коефіцієнт залежить від форми перерізу (для куткового – ; двотаврового – ; таврового – ; швелерного – ).

Момент опору при крученні запишеться як:

 

,

 

а максимальні дотичні напруження визначаться як

 

. (1.35)

 

Найбільші напруження в кожному елементі визначаються за формулою

 

.

 

Абсолютний кут закручування визначається як

 

. (1.36)

Приклад 5

Зіставити величини найбільших дотичних напружень і кутів закручування для сталевих стержнів довжиною , діаметром , товщиною стінки мм для випадків відкритого (рис. 16а) і закритого (рис. 16б) профілів, навантажених однаковими крутними моментами .

 

Рисунок 16

 

Стержень відкритого профілю (рис. 16а).

Розгорнемо профіль у витягнутий прямокутник зі сторонами:

 

,

.

 

Максимальні дотичні напруження обчислимо за формулою

 

.

 

Момент опору на кручення:

 

.

 

Тоді максимальні дотичні напруження виявляються рівними

 

.

 

Абсолютний кут закручування обчислимо за формулою

 

.

 

Момент інерції на кручення:

 

.

 

У цьому випадку кут закручування дорівнює

 

.

 

Стержень закритого профілю (рис. 16б).

Максимальні дотичні напруження обчислимо за формулою Бредта:

 

,

де , і одержимо

.

 

Кут закручування обчислимо за формулою

 

.

 

Після перетворень одержимо:

 

.

 

Відношення напружень:

 

.

 

Відношення кутів закручування:

 

.

 

Отже, стержень замкнутого профілю виявляється істотно більш міцним та в ще більшому ступені жорстким, чим такий же незамкнутий.