Расчет напряжений и деформаций при растяжении (сжатии) стержней

Растяжением или сжатием стержня называется такой вид простого нагружения, при котором в поперечном сечении стержня возникает один внутренний силовой фактор – продольная сила.

3.1.1 Построение эпюры продольных сил при растяжении (сжатии) стержней

Для построения эпюры продольных сил стержень разбивается на участки, границами участков являются точки приложения внешних нагрузок или изменение площади сечения (рисунок 3.1). Рассмотрение начинается со свободного торца стержня, т. к. в защемлении действует неизвестная реакция связи. В каждом из рассматриваемых сечений продольная сила N определяется как алгебраическая сумма всех сил, действующих на стержень до рассматриваемого сечения. В случае, если стержень имеет n участков, продольная сила на i-м участке:

,

где F_i – действующая на стержень сила.

При этом, если N>0, то она направлена от сечения и является растягивающей силой, а если N<0 – к сечению и является сжимающей силой.

Эпюра продольных усилий позволяет определить опасное сечение стержня.

 

Рисунок 3.1 – Расчетная схема стержня

3.1.2 Определение размеров поперечного сечения стержня при растяжении (сжатии)

Для определения размеров сечения стержня, постоянного по длине, используется уравнение прочности

, (3.1)

откуда площадь сечения

.

Если сечение квадратное, то сторона квадрата .

При определении размеров сечения стержня равной прочности площадь сечения каждого участка стержня определяется также из условия прочности (3.1), но продольная сила берется из эпюры соответствующего участка.

Из условия (3.1) видно, что величина напряжения в сечении не зависит от формы сечения, поэтому эпюра распределения напряжений по сечению при растяжении будет иметь вид, указанный на рисунке 3.1.

 

3.1.3 Определение деформации при растяжении (сжатии)

При произвольном законе изменения напряжений по длине Z стержня перемещения сечения определяются интегрированием закона Гука (рисунок 3.2).

 

 

Рисунок 3.2

;

 

;

 

 

 

В случае постоянных значений внутренних усилий перемещение на i-м участке стержня при растяжении (сжатии) определяется как:

. (3.2)

Если стержень имеет n участков, полная деформация определяется:

.

Построение эпюры деформаций показано на рисунке 3.1. Знак деформации каждого участка соответствует знаку продольного усилия N. За начало отсчета при построении эпюры перемещений точек приложения сил принимается сечение заделки, где очевидно, у стержня нет перемещений. Эпюра деформаций позволяет оценить деформации отдельных участков; найти перемещение сечений; определить полную деформацию стержня.

 

Пример 1. Построить эпюры продольных сил, напряжений и перемещений ступенчатого стержня, показанного на рисунке 3.1.

Дано: F = 2 kH; L = 0,5 м; [σ] = 100 МПа; Е = 2*10¹¹ Па.

Решение: Заданный стержень разбиваем на три участка I, II,III; границами участков являются точки приложения внешней силы и изменение площадей сечений. Определение напряжений начинаем со стороны консоли (участок III).

Определяем по методу разрезов продольную внутреннюю силу на каждом участке. Для этого проведем произвольное сечение на расстоянии Z на участке III. Отбросив левую часть бруса, рассмотрим равновесие правой части, изображая отдельно (см. рисунок 3.3), и т.д.

Проектируя на ось Z силы, действующие на оставленную часть, определим силы на каждом участке:

участок III, 2l£z£3l

N₃ = 0;

участок II,l£z£2l

N₂=F=2*10³ Н, знак плюс, т. е. сила N₂ действует от сечений и является растягивающей;

участок I, 0£z£l

N₁=F-2F =-F=-2000 Н, знак минус показывает, что сила N₁ действует к сечению и является сжимающей.

 

 

 

Рисунок 3.3 – Определение внутренней продольной силы N методом

разрезов на участках стержня

Существует важное правило построения эпюры продольной силы N. В сечениях стержня, где приложены внешние продольные силы, включая реакции опор, в эпюре продольных сил наблюдается скачок, равный по величине действующей силе. В нашем примере действуют три силы, включая реакцию опоры, и в эпюре N наблюдаются три скачка, равные величинам этих сил. Эпюра напряжений σ определяется делением значений N на соответствующую площадь поперечного сечения стержня. При этом учитывается знак силы. Вначале эпюры напряжений σ строим в долях от параметра площади А.

Из рисунка 3.1 следует, что наибольших значений напряжение достигает на участке II. Приравнивая это напряжение к допускаемому, определяем параметр площади А:

;

На эпюре также даны численные значения напряжений.

При определении перемещений за начало отсчета принимают се­чение заделки, где у стержня нет перемещений - сечение 0. Величину удлинения (укорочения) каждого участка определяют по формуле:

В пределах участка I:

;

.

На участке II

;