Расчет напряжений и деформаций при кручении стержней

3.2.1 Построение эпюры крутящих моментов

Для определения внутреннего крутящего момента при кручении вала применяют также метод разрезов. Правило знаков крутящего момента: если смотреть в торец сечения, то момент, вращающий вал против часовой стрелки, будет считаться положительным. Внутренний крутящий момент в рассматриваемом, сечении вала равен алгебраической сумме всех внешних крутящих моментов, действующих на вал до рассматриваемого сечения. Начинают построе-

ние эпюры крутящих моментов от свободного конца, поскольку защемленный конец вала нагружен опорным крутящим моментом, который нам неизвестен. Пример построения эпюры крутящих моментов (ЭМк) показан на рисунке 3.4.

На эпюре ЭМк видно, что в местах приложения внешних скручивающих моментов получаются скачки, равные по величине этим моментам.

 

 

 

Рисунок 3.4 – Расчетная схема вала

3.2.2 Определение размеров сечения вала

Для вала круглого поперечного сечения диаметром d касательные напряжения в произвольной точке сечения, находящейся на расстоянии ρ от центра тяжести, определяют по формуле

, (3.3)

где - полярный момент инерции сечения.

Размеры сечения находят из условия прочности:

. (3.4)

 

Для валов круглого сечения диаметром d полярный момент сопротивления W_p определяется по формуле

, (3.5)

а в случае вала кольцевого сечения

. (3.6)

В задаче необходимо выбрать рациональное (экономичное) сечение вала. Из уравнения (3.3) видно, что величина τ – линейная функция расстояния ρ от рассматриваемой точки сечения до его центра тяжести. Поэтому эпюра напряжений в сечении имеет вид, показанный на рисунке 3.5. Для расчета принять α=d₂/d₁; α = 0,7; 0,8.

 

3.2.3 Определение деформаций вала постоянного поперечного сечения

 

Рисунок 3.5

Деформация вала при кручении характеризуется углом закручивания φ, который определяют интегрированием относительно угла закручивания .

; ; (3.7)

, рад.

В случае ступенчатой эпюры ЭМ_к интегрирование выполняют по интервалам.

 

Пример 2. Построить эпюры крутящих моментов, максимальных касательных напряжения и абсолютных углов закручивания по длине стального круглого вала (рисунок 3.6). Определить диаметры сплошного и кольцевого сечений. Дано: Т = 1 кН*м; G = 8*10¹⁰ Па; L = 1 м; α = 0,8; допускаемое касательное напряжение кручения вала [τ] = 50МПа. Проверить жесткость вала.

Решение. Разбиваем вал на четыре участка по сечениям, в которых приложены внешние скручивающие моменты и в которых имеется изменение диаметра вала.

 

Рисунок 3.6 – Определение внутреннего крутящего момента

методом разрезов на участках вала

 

Так как опорный (реактивный) крутящий момент нам неизвестен, начнем построение эпюры крутящих моментов со свободного конца (консоли).

Методом разрезов на участке IV определяем крутящий момент из условия равновесия.

М_кIV=0, следовательно, относительный угол закручивания θ=0, максимальное касательное напряжение τ_max = 0.

На участке III:

,

.

Знак у отрицательный, т. к. внутренний момент действует по ходу часовой стрелки, если смотреть со стороны торца сечения (рисунок 3.6). Знаки θ и τ_max определяются знаком .

 

На участке II:

,

.

На участке I:

 

.

Анализ эпюры касательных напряжений в долях от диаметра d (рисунок 3.6) показывает, что наибольших значений они достигают на III участке.

Из условия прочности при кручении на III участке определяем параметр диаметра d.

 

 

Определим наружный диаметр кольцевого сечения вала d₁.

 

 

Экономия материала кольцевого сечения вала по сравнению со сплошным составит:

 

где А_спл – площадь сплошного сечения,

А_к – площадь кольцевого сечения.

 

Вал кольцевого сечения экономичнее вала сплошного сечения, что является примером рационального проектирования.

Численные значения максимальных напряжений на I и II участках:

 

 

Интегрирование угла закручивания выполняем относительно жесткой заделки, где в сечении 0 (φ=0)

;

Крутильная жесткость на I-ом интервале:

 

 

 

 

 

 

 

 

Условия жесткости вала: ,

где допускаемый относительный угол закручивания

Максимальный относительный угол закручивания

 

Диаметр вала по условию жесткости равен

 

Условие жесткости выполняется.