Глава 10 - раздел Литература, Грин Б. Элегантная Вселенная 1. Отметим Для Полноты, Что Хотя Большая Часть Приведенных Выше Аргуме...
1. Отметим для полноты, что хотя большая часть приведенных выше аргументов в равной степени справедлива как для открытых струн (струн со свободными концами), так и для замкнутых струн (которым мы уделяли основное внимание), в рассматриваемом вопросе два типа струн могут, кажется, проявлять различные свойства. Действительно, открытая струна не может быть «насажена» на циклическое измерение. Тем не менее, в результате исследований, сыгравших в конце концов ключевую роль во второй революции суперструн, Джо Польчински из Калифорнийского университета в городе Санта-Барбара и двое его студентов, Джиан-Хюи Дай и Роберт Лей, в 1989 г. продемонстрировали, что открытые струны прекрасно вписываются в схему, которая будет описана в данной главе.
2. Чтобы ответить на вопрос о том, почему возможные энергии однородных колебаний равны целым кратным 1/R, достаточно лишь вспомнить обсуждение квантовой механики (в частности, примера с ангаром) в главе 4. Там мы узнали о том, что согласно квантовой механике энергия, как и деньги, существуют в виде дискретных порций, т. е. в виде целых кратных различных энергетических единиц. В случае однородного колебательного
движения струны во вселенной Садового шланга эта энергетическая единица в точности равна 1/R, как объясняется в основном тексте на основе соотношения неопределенностей. Таким образом, энергия однородных колебаний равна произведению целых чисел на 1/R.
3. Математически равенство энергий струн во вселенной с радиусом циклического измерения R или 1/R есть следствие формулы для энергии v/R+wR, где v — колебательное число, аw- топологическое число. Данное уравнение инвариантно относительно одновременных взаимных замен v на w и R на 1/R, т. е. при перестановке колебательных и топологических чисел с одновременной инверсией радиуса. Мы используем планковские единицы, но можно работать и в более привычных единицах, если переписать формулу для энергии через так называемую струнную шкалу , значение которого примерно равно планковской длине, т.е. 10~33 сантиметра. В результате энергия записывается в виде выражения v/R + wR/', инвариантного относительно взаимной замены v на w и R на '/R, где последние две величины выражены в стандартных единицах расстояния.
4. У читателя может возникнуть вопрос, каким образом с помощью струны, намотанной вокруг циклического измерения радиусом Я, можно измерить значение радиуса 1/R. Хотя этот вопрос совершенно правомерен, ответ на него, в действительности, заключается в том, что сам вопрос сформулирован некорректно. Когда мы говорим, что струна намотана на окружность радиуса R, мы с необходимостью используем определение расстояния (чтобы фраза «радиус R» имела смысл). Однако это определение расстояния относится к модам ненамотанной струны, т. е. к колебательным модам. С точки зрения этого определения расстояния (и только этого!) конфигурация намотанной струны выглядит так, что струна обернута вокруг циклической компоненты пространства. Однако с точки зрения другого определения расстояния, соответствующего конфигурациям намотанных струн, топологические моды точно так же локализованы в пространстве, как и колебательные моды с точки зрения первого определения, и радиус, который они «видят», равен 1/R, что и отмечено в тексте.
Эти пояснения дают некоторое представление о том, почему расстояния, измеренные с помощью намотанных и ненамотанных струн, обратно пропорциональны друг другу. Однако, так как данный момент достаточно тонкий, возможно, имеет смысл привести технические подробности для читателя, склонного к математическому образу мышления. В обычной квантовой механике точечных частиц расстояние и импульс (по существу, энергия) связаны преобразованием Фурье. Иными словами, собственный вектор оператора координаты х) на окружности радиусом R можно определить как , где р = v/R, а р) есть собственный вектор оператора импульса (прямой аналог того, что мы называли общей колебательной модой струны — движение без изменения формы). В теории струн, однако, есть еще один собственный
где — собственный вектор для намотанной струны с . Из этих определений немед-
ленно следует, что х периодична с периодом 2R, а х периодична с периодом 2/R, так что х есть координата на окружности радиусом R, а — координата на окружности радиусом 1/R. Более конкретно, можно рассмотреть два волновых пакета , распространяющихся из начала координат и эволюционирующих во времени, с помощью которых можно дать практическое определение расстояния. Радиус окружности, измеренный с помощью каждого из пакетов, будет пропорционален времени возвращения пакета в исходную точку. Так как состояние с энергией Е эволюционирует с фазовым множителем, пропорциональным Et, видно, что время, а, следовательно и радиус, равны t ~ 1/Е ~ R для колебательных мод и t ~ 1/Е ~ 1/R для топологических мод.
5. Для читателя, сведущего в математике, отметим, что число семейств колебательных мод струны равно половине абсолютного значения эйлеровой характеристики многообразия Калаби—Яу, как указано в примечании 16 к главе 9. Эта величина равна абсолютному значению разности
где обозначает число Ходжа (p,q). С точ-
ностью до константы эти значения равны числу нетривиальных гомологии 3-циклов (трехмерных отверстий) и числу гомологии 2-циклов (двумерных отверстий). Таким образом, хотя в основном содержании говорится о полном числе отверстий, более точный анализ показывает, что число семейств зависит от абсолютного значения разности между числами четномерных и нечетномерных отверстий. Выводы, однако, те же самые. Например, если два пространства Калаби—Яу отличаются перестановкой соответствующих чисел Ходжа и , то число семейств частиц — полное число отверстий — не изменится.
6. Название объясняется тем, что «ромбы Ходжа», математические выражения чисел отверстий различных размерностей для пространств Калаби—Яу, являются зеркальными отражениями друг друга для каждой зеркальной пары.
7. Термин зеркальная симметрия используется в физике и в других контекстах, совершенно не связанных с данным, например, в связи с понятием киральности, т. е. в связи с вопросом о том, является ли Вселенная инвариантной относительно замены правого на левое (см. примечание 7 к главе 8).
New York
Брайан ГРИН
ЭЛЕГАНТНАЯ ВСЕЛЕННАЯ
Суперструны, скрытые размерности и поиски окончательной теории
Таблица 1.2
Четыре фундаментальных типа взаимодействий, существующих в природе; частицы, переносящие эти взаимодействия, и их массы (в единицах массы протона). (Переносчики слабого взаимодействия имеют различн
Влияние на время. Часть I
Используя постоянство скорости света, можно с минимальными усилиями показать, что привычная обыденная концепция времени неверна. Представим себе лидеров двух воюющих держав, сидящих на противополож
Влияние на время. Часть II
Дать абстрактное определение времени трудно — попытки сделать это часто кончаются отсылкой на само слово «время» или приводят к запутанным лингвистическим конструкциям, цель которых состоит в том,
И все же: кто движется?
Относительность движения является ключом к пониманию теории Эйнштейна и одновременно источником недоразумений. Вы могли заметить, что перестановка точек зрения приводит к взаимному изменению ролей
Верна ли общая теория относительности?
В экспериментах, выполненных с использованием современной техники, не было обнаружено отклонений от предсказаний общей теории относительности. Только время сможет показать, позволит ли возрастающая
Что представляют собой порции?
Планк не мог обосновать гипотезу дискретности энергии волн, играющую центральную роль в предложенном им решении. За исключением того, что это работает, ни у Планка, ни у кого-либо еще не было никак
Волна или частица?
Каждому известно, что вода (и, следовательно, волны на поверхности воды) состоит из огромного количества молекул. Поэтому так ли удивительно, что световые волны тоже состоят из огромного числа част
Волны чего?
Явление интерференции, открытое Дэвиссоном и Джермером, реально продемонстрировало, что электроны подобны волнам. Но при этом возникает естественный вопрос: волнам чего? Одно из первых предп
Снова атомы в духе древних греков?
Как мы говорили в начале данной главы, и как показано на рис. 1.1, теория струн утверждает, что если бы мы могли исследовать точечные частицы, существование которых предполагает стандартная модель,
Ловкость рук?
Обсуждение, приведенное выше, может оставить у вас чувство неудовлетворенности. Вместо того чтобы показать, что теория струн укрощает субпланковские флуктуации структуры пространства, мы, похоже, и
Не только струны?
Струны имеют две важных особенности. Во-первых, несмотря на конечность пространственных размеров, они могут быть непротиворечиво описаны в рамках квантовой механики. Во-вторых, среди резонансных мо
Как выглядят свернутые измерения?
Дополнительные пространственные измерения теории струн не могут быть свернуты произвольным образом: уравнения, следующие из теории струн, существенно ограничивает геометрическую форму, которую они
Таблица 10.2
Аналогична табл. 10.1, но значение радиуса выбрано равным 1/10
Таблица 10.1
Таблица 10.2
Насколько общий этот вывод?
Что произойдет, если пространственные измерения не являются циклическими? Будут ли и в этом случае справедливы замечательные утверждения теории струн о минимальных пространственных размерах? Никто
Приближает ли к ответу приближение?
Нельзя сказать заранее. Хотя математические формулы, соответствующие диаграммам, значительно усложняются при увеличении числа петель, теоретикам удалось установить одно очень важное свойство. Подоб
Помогает ли это в неразрешенных вопросах теории струн?
И да, и нет. Нам удалось достичь более глубокого понимания, освободившись от некоторых выводов, которые, как стало ясно теперь, были следствиями использования теории возмущений, а не истинных принц
Позволяет ли теория струн продвигаться вперед?
Да. Совершенно неожиданный и весьма утонченный подход к изучению черных дыр в рамках теории струн начинает давать первые теоретические обоснования взаимосвязи между черными дырами и элементарными ч
Насколько черно черное?
Оказалось, что Хокинг тоже думал о схожести закона об увеличении площади горизонта черной дыры и закона о неминуемом росте энтропии, но решил, что эта аналогия есть просто совпадение, и выбросил ее
Ваш выход, теория струн!
Но так было до конца 1996 г., пока Строминджер и Вафа, опираясь на более ранние результаты Сасскинда и Сена, не написали работу «Микроскопическая природа энтропии Бекенштейна и Хокинга», появившуюс
Почему три?
Здесь сразу же возникает вопрос: в чем причина того, что при понижении симметрии для расширения отбираются ровно три пространственных измерения? Иными словами, кроме имеющегося экспериментального ф
До начала?
Так как точные уравнения теории струн неизвестны, Бранденбергеру и Вафе пришлось делать немало допущений и приближений в своих космологических исследованиях. Недавно Вафа сказал: «В нашей работе по
Что является фундаментальным принципом теории струн?
Один из универсальных уроков последнего столетия состоит в том, что известные законы физики находятся в соответствии с принципами симметрии. Специальная теория относительности основана на симметрии
Приведет ли теория струн к переформулировке квантовой механики?
Вселенная подчиняется законам квантовой механика с фантастической точностью. Однако даже с учетом этого, при формулировке теорий за последние полвека физики следовали, конструктивно говоря, стратег
Можно ли теорию струн проверить экспериментально?
Среди многих свойств теории струн, которые мы обсудили в предыдущих главах, возможно, особенно важны три нижеследующих. Во-первых, гравитация и квантовая механика являются неотъемлемыми принципами
Существуют ли пределы познания?
Объяснение всего — даже в ограниченном смысле понимания всех сторон взаимодействий и элементарных составляющих Вселенной — есть одна из величайших задач, с которыми когда-либо сталкивалась наука. И
Глава 1
1. Таблица справа — расширенный вариант табл. 1.1. В нее входят массы и константы взаимодействия элементарных частиц всех трех семейств. Кварк каждого типа может обладать тремя значениями сильног
Глава 2
1. Присутствие массивных тел, подобных нашей Земле, усложняет картину за счет добавления гравитационных сил. Поскольку мы сфокусируем свое внимание на движении в горизонтальном, а не в вертикальн
Глава 3
1. Isaac Newton, Sir Isaac Newton's Mathematical Principle of Natural Philosophy and His System of the World, Irans. A. Motleand Florian Cajori. Berkeley: University of California Press,
Глава 4
1. Richard Feynman, The Character of Physical Lain. Cambridge, Mass.: MIT Press, 1965, p. 129, (Рус. пер.: Феинман P. Характер физических законов. М.: Мир, 1968.)
2. Хотя
Глава 5
1. Stephen Hawking, A Brief History of Time. New York: Bantam Books, 1988, p. 175. (Рус. пер.: Хокинг С. От Большого взрыва до черных дыр. М.: Мир, 1998.)
2. Цитируется
Глава 6
1. Знающий читатель поймет, что в данной главе рассматривается только пертурбативная теория струн; выходящие за рамки теории возмущений аспекты обсуждаются в главах 12 и 13.
2. Интервь
Глава 7
1. Цитируется по книге R. Clark, Einstein: The Life and Times. New York: Avon Books, 1984, p. 287.
256 При
Глава 8
1. Эго простая идея, однако, поскольку несовершенство нашего обычного языка приводит иногда к недопониманию, приведем два пояснения. Во-первых, мы считаем, что муравей живет на поверхности
Глава 9
1. Edward Witten, Reflections on the Fate of Spacetime, Physics Today, April 1996, p. 24.
2. Интервью с Эдвардом Виттеном, 11 мая 1998 г.
3. Sheldon Glashow and Paul
Глава 11
1. Для читателя, склонного к математической строгости рассуждений, будет понятно, что вопрос состоит в том, является ли топология пространства динамической, т. е. может ли она меняться во времени.
Глава 12
1. Цитируется по книге: John D. Barrow, Theories of Everything. New York: Fawcett-Columbine, 1992, p. 13. (В рус. пер. цитата есть в книге: Кузнецов Б. Г. Эйнштейн: Жизнь. Смерть
Глава 13
1. Знающему читателю будет понятно, что при преобразованиях зеркальной симметрии коллапсирующая трехмерная сфера одного пространства Калаби—Яу отображается на коллапсирующую двумерную с
Глава 14
1. Более точно, в данном температурном диапазоне Вселенная должна быть заполнена фотонами в соответствии с законами излучения идеально поглощающего тела (абсолютно черного тела на языке те
Глава 15
1. Интервью с Эдвардом Виттеном, 4 марта 1998 г.
2. Некоторые теоретики усматривают указание на эту идею в голографическом принципе — концепции, выдвинутой Сасскиндом и известны
Размышления о космологии......... 224
Стандартная космологическая модель .... 224
Проверка модели Большого взрыва...... 225
От планковских времен до сотых долей
секунды после Большого взрыва........ 227
, значение которого примерно равно планковской длине, т.е. 10~33 сантиметра. В результате энергия записывается в виде выражения v/R + wR/', инвариантного относительно взаимной замены v на w и R на '/R, где последние две величины выражены в стандартных единицах расстояния.
, где р = v/R, а р) есть собственный вектор оператора импульса (прямой аналог того, что мы называли общей колебательной модой струны — движение без изменения формы). В теории струн, однако, есть еще один собственный
, определяемый состояниями намотанной струны: 
,
— собственный вектор для намотанной струны с 
. Из этих определений немед-
— координата на окружности радиусом 1/R. Более конкретно, можно рассмотреть два волновых пакета 
, распространяющихся из начала координат и эволюционирующих во времени, с помощью которых можно дать практическое определение расстояния. Радиус окружности, измеренный с помощью каждого из пакетов, будет пропорционален времени возвращения пакета в исходную точку. Так как состояние с энергией Е эволюционирует с фазовым множителем, пропорциональным Et, видно, что время, а, следовательно и радиус, равны t ~ 1/Е ~ R для колебательных мод и t ~ 1/Е ~ 1/R для топологических мод.
обозначает число Ходжа (p,q). С точ-
и 
, то число семейств частиц — полное число отверстий — не изменится.
Новости и инфо для студентов