рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Линейная регрессия.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Линейная регрессия.

Линейная регрессия. - раздел Математика, ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Пусть Составляющие Х И Y Двумерной Случайной Величины (Х...

Пусть составляющие Х и Y двумерной случайной величины (Х, Y) зависимы. Будем считать, что одну из них можно приближенно представить как линейную функцию другой, например

Y ≈ g(Х) = α + βХ, (11.2)

и определим параметры α и β с помощью метода наименьших квадратов.

Определение 11.2. Функция g(Х) = α + βХ называется наилучшим приближениемY в смысле метода наименьших квадратов, если математическое ожидание М(Y - g(Х))² принимает наименьшее возможное значение; функцию g(Х) называют среднеквадратической регрессиейY на Х.

Теорема 11.1. Линейная средняя квадратическая регрессия Y на Х имеет вид:

(11.3)

где - коэффициент корреляции Х и Y.

Доказательство. Рассмотрим функцию

F(α, β) = M(Y – α – βX)² (11.4)

и преобразуем ее, учитывая соот-ношения M(X – m_x) = M(Y – m_y) = 0, M((X – m_x)(Y – m_y)) = =K_xy = rσ_xσ_y:

Найдем стационарные точки полученной функции, решив систему

Решением системы будет .

Можно проверить, что при этих значениях функция F(α, β) имеет минимум, что доказывает утверждение теоремы.

Определение 11.3. Коэффициент называется коэффициентом регрессии Y на Х, а прямая - (11.5)

- прямой среднеквадратической регрессии Y на Х.

Подставив координаты стационарной точки в равенство (11.4), можно найти минимальное значение функции F(α, β), равное Эта величина называется остаточной дисперсией Y относительно Х и характеризует величину ошибки, допускаемой при замене Y на g(Х) = α+βХ. При остаточная дисперсия равна 0, то есть равенство (11.2) является не приближенным, а точным. Следовательно, при Y и Х связаны линейной функциональной зависимостью. Аналогично можно получить прямую среднеквадратической регрессии Х на Y:

(11.6)

и остаточную дисперсию Х относительно Y. При обе прямые регрессии совпадают. Решив систему из уравнений (11.5) и (11.6), можно найти точку пересечения прямых регрессии – точку с координатами (т_х, т_у), называемую центром совместного распределения величин Х и Y.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

На сайте allrefs.net читайте: "ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН"

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Линейная регрессия.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Математическое ожидание.
Определение 7.1. Математическим ожиданиемдискретной случайной величины называ-ется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности: М

Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
Распространим определения числовых характеристик случайных величин на непре-рывные случайные величины, для которых плотность распределения служит в некото-ром роде аналогом понятия вероятности.

Стандартные законы распределения.
1. Биномиальное распределение. Для дискретной случайной величины Х, представляющей собой число появлений события А в серии из п независимых испытаний (см. лекцию 6),

Двумерные случайные величины.
1. Дискретные двумерные случайные величины. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (Х, Y) имеет вид таблицы с двойным вх

Дискретной двумерной случайной величины.
Рассмотрим дискретную двумерную случайную величину и найдем закон распределения составляющей Х при условии, что Y примет определенное значение (например, Y = у1). Дл

Равномерное распределение на плоскости.
Система двух случайных величин называется равномерно распределенной на плоскости, если ее плотность вероятности f(x, y) = const внутри некоторой области и равна 0 вне

Числовые характеристики двумерных случайных величин.
Такие характеристики, как начальные и центральные моменты, можно ввести и для системы двух случайных величин. Определение 9.8. Начальным моментом порядка k, s

Корреляционный момент и коэффициент корреляции.
Определение 9.10. Корреляционным моментомсистемы двух случайных величин называется второй смешанный центральный момент: Kxy = μ1,1

Математическое ожидание функции одного случайного аргумента.
Пусть Y = φ(X) – функция случайного аргумента Х, и требуется найти ее математическое ожидание, зная закон распределения Х. 1) Если Х – дискретная сл

Независимых слагаемых.
Определение 10.2. Если каждой паре возможных значений случайных величин Х и Y соответ-ствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z на

Нормальный закон распределения на плоскости. Линейная регрессия. Линейная корреляция.
Определение 11.1. Нормальным законом распределения на плоскости называют распре-деление вероятностей двумерной случайной величины (X, Y), если

Линейная корреляция.
Для двумерной случайной величины (Х, Y) можно ввести так называемое условное математи-ческое ожидание Yпри Х = х. Для дискретной случайной величины оно определ

Распределение «хи-квадрат».
Пусть имеется несколько нормированных нормально распределенных случайных величин: Х1, Х2,…, Хп (ai = 0, σi

Распределение Стьюдента.
Рассмотрим две независимые случайные величины: Z, имеющую нормальное распределение и нормированную (то есть М( Z ) = 0, σ( Z) = 1), и V, распределенну

Распределение F Фишера – Снедекора.
Рассмотрим две независимые случайные величины U и V, распределенные по закону «хи-квадрат» со степенями свободы k1 и k2 и образуем из них новую вел