Производная от сложной функции

Производная от сложной функции.

Покажем, что эта функция дифференцируема, и вычислим ее производную. Итак, фиксируем точку . Придадим переменной некоторое приращение , ему будут… , где - бесконечно малые функции при .

Формула конечных приращений.

Тогда справедлива формула .

Производная по заданному направлению.

. Определение. Производной функции по направлению в точке называется величина … .

Градиент функции.

Из формулы для производной по направлению видим, что . Скалярное произведение будет максимальным, если векторы будут сонаправлены, то есть, если направление вектора будет…

Инвариантность формы первого дифференциала.

Пусть функция имеет непрерывные частные производные . Тогда она будет дифференцируема, а ее дифференциал имеет вид , где совпадают с приращениями переменных .

Пусть теперь переменные в свою очередь являются функциями от новых переменных , причем функции имеют непрерывные частные производные . Тогда функция будет иметь непрерывные частные производные. Выпишем ее дифференциал в этом случае:

.

Видим, что дифференциал имеет прежнюю форму, только здесь уже не совпадают с приращениями переменных , а являются главными линейными частями этих приращений. Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала.