Свойства определенного интеграла
Свойства определенного интеграла
Пусть функция 
интегрируема на отрезке 
. Положим по определению 
и 
.
(Аддитивность). Пусть ограниченная кусочно-непрерывная функция определена в наибольшем из промежутков , 
и 
. Тогда справедливо равенство
.
Доказательство. 
Предположим сначала, что 
. Рассмотрим разбиение отрезка на части. Не нарушая общности, можно считать точку 
одной из точек деления. Для соответствующей интегральной суммы будем иметь
.
Переходя к пределу при 
, получим требуемое равенство.
Другие случаи взаимного расположения точек 
приводятся к разобранному. Пусть, например, 
. Тогда, по доказанному,
,
.
После перестановки пределов интегрирования в последнем интеграле, получим нужное нам равенство.
Аналогично поступаем с другими расположениями.
(Линейность). Пусть функции и 
интегрируемы на отрезке . Тогда произвольная линейная комбинация 
этих функций также будет интегрируемой на этом отрезке, причем
.
Доказательство. Возьмем произвольное разбиение 
отрезка на части и составим интегральные суммы для всех трех интегралов. При этом точки 
в каждом частичном промежутке выбираем для всех трех сумм одни и те же. Получим
.
Переходя в последнем равенстве к пределу при 
, убеждаемся в интегрируемости линейной комбинации и справедливости требуемого равенства.
Теорема (об оценке модуля интеграла). Пусть функция интегрируема на отрезке , тогда функция 
также интегрируема на этом отрезке, и имеет место неравенство
.
Доказательство. Рассмотрим произвольное разбиение отрезка . Так как для любой пары точек 
будет 
, то и колебание 
функции в этом промежутке не превосходит 
(колебания функции ). В таком случае имеем 
, а переходя к пределу в последнем неравенстве при , убеждаемся в интегрируемости функции . Для доказательства нужного нам неравенства для интегралов перейдем к пределу в соответствующем неравенстве для интегральных сумм.
Теорема (об интегрировании неравенств). Если функции иинтегрируемы на отрезке и 
везде на , то
.
Доказательство. Так как функции и интегрируемы, то мы можем выбрать любую последовательность разбиений с параметрами, стремящимися к нулю, для того, чтобы в пределе получить интеграл. Выберем разбиения 
отрезка 
на 
равных промежутков: 
и выделим точки 
. Тогда, с учетом заданного неравенства, имеем:
,
и, переходя в последним неравенстве к пределу при 
, получаем нужное нам неравенство.
Теорема (об оценке интеграла). Если функция интегрируема на отрезке , и если на всем этом отрезке справедливо неравенство 
, то
.
Доказательство. Воспользуемся предыдущим свойством с учетом того, что
.
Теорема о среднем значении
Определение. Средним интегральным функции на отрезке называется число
.
Теорема (о среднем интегральном). Пусть функция интегрируема на отрезке , и пусть на всем этом отрезке . Тогда
,
где 
.
Доказательство. По теореме об оценке интеграла
,
откуда получаем
.
Теперь полагаем .
В случае непрерывной функции справедлива следующая теорема.
Теорема (о среднем интегральном значении непрерывной функции). Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда найдется точка 
такая, что
.
Доказательство. В качестве 
и 
возьмем соответственно наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке . По второй теореме Вейерштрасса эти значения принимаются в некоторых точках 
:
.
По теореме о среднем интегральном 
принадлежит отрезку с 
. По теореме же Коши о промежуточном значении непрерывной функции на отрезке с концами в точках 
и 
найдется точка , в которой 
.
Требование непрерывности функции на существенно. В самом деле, рассмотрим 
Тогда 
(множеству значений функции ).