ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
ТЕМА «ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ»
ЛЕКЦИЯ № 11
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
ПЛАН
1. Полный дифференциал функции двух переменных.
2. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции двух переменных.
3. Производная по направлению Градиент.
4. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков.
1. Пусть функция z = f(х, у) определена в некоторой окрестности точки М(х, у). Составим полное приращение функции в точке М:
Z = f(x + ∆x, y + ∆у) – f(х, у).
Определение. Функция z = f(х, у) называется дифференцируемой (т.е.
имеет полный дифференциал) в точке М(х, у), если её
полное приращение можно представить в виде:
∆z = A · ∆x + B · ∆y + α · ∆x + β · ∆y , (1)
где α = α(∆х, ∆у) → 0 и β = β(∆х, ∆у) → 0 при ∆х → 0, ∆у → 0.
Сумма первых двух слагаемых в равенстве (1) есть выражение, линейное относительно ∆х и ∆у и представляет собой главную часть приращения функции. Сумма двух последних слагаемых правой части равенства (1) является бесконечно малой высшего порядка относительно 
, т.е. 
или 
.
Определение. Главная часть полного приращения функции z = f(х, у),
линейная относительно ∆х и ∆у, называется полным
дифференциаломэтой функции и обозначается симво-
лом dz:
dz = А · ∆х + В · ∆у. (2)
Выражения А · ∆х и В · ∆у называют частными дифференциалами.
Для независимых переменных ∆х = dх и ∆у =dу.
Поэтому равенство (2) можно записать в виде:
dz = А · dх + В · dу. (3)
Необходимое и достаточное условия дифференцируемости
Функции двух переменных.
Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости функции).
Если функция z = f(х, у) имеет в точке М(х, у) полный дифферен-
циал, то она имеет в этой точке частные производные и при этом
.
Формула (3) принимает вид:
. (4)