ЛНДУ−II с постоянными коэффициентами. - Лекция, раздел Математика, Раздел 2. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ряды АУ²+BУ¢+CУ=R(X), Где А, B, C...
ау²+bу¢+cу=R(x), где а, b, c – некоторые постоянные.
Его общее решение имеет вид: , где
- общее решение ЛОДУ−II ау²+bу¢+cу=0;
- частное решение ЛНДУ−II ау²+bу¢+cу=R(x), которое ищется, в зависимости от правой части по одному из правил.
Правило 1: если правая часть R(x)=Р(х)еkx, где Р(х) – какой-либо многочлен степени m, и если:
· k – не является корнем характеристического уравнения аk2+bk+c=0, то у*=Q(х)еkx, где Q(х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.
· k – является однократным корнем характеристического уравнения (то есть один из неравных корней D>0) аk2+bk+c=0, то у*=хQ(х)еkx, где Q(х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.
· k – является двукратным корнем характеристического уравнения (то есть один из равных корней D=0) аk2+bk+c=0, то у*=х2Q(х)еkx, где Q(х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.
Замечание 1: Если множитель Р(х) – есть постоянная величина (многочлен нулевой степени), то Q(x) – тоже постоянная величина (многочлен нулевой степени).
Замечание 2: Если множитель R(х) –многочлен, то есть k=0, то y* тоже многочлен.
Правило 2: если правая часть R(x)=еax(P1(x)cosbx+P2(x)sinbx) где P1(x) и P2(x) –многочлены соответственно степеней m1 и m2, и если:
· комплексные числа a±bi – не является корнями характеристического уравнения аk2+bk+c=0, то у*=еax(Q1(x)cosbx+Q2(x)sinbx), где Q1(x) и Q2(x) –многочлены, степени которых не превышают старшей из степеней m1 и m2.
· комплексные числа a±bi – является корнями характеристического уравнения аk2+bk+c=0, то у*=хеax(Q1(x)cosbx+Q2(x)sinbx), где Q1(x) и Q2(x) –многочлены, степени которых не превышают старшей из степеней m1 и m2.
Виды многочленов:
Многочлен n-ой степени
А0хn+А1хn-1+…+Аn-2х2+Аn-1х+Аn
или
Ахn+Вхn-1+…+Uх2+Vх+W
Тема Интегралы... Лекция Первообразная и неопредел нный интеграл...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
ЛНДУ−II с постоянными коэффициентами.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Первообразная
Восстановление функции по известной производной этой функции составляет одну из основных задач интегрального исчисления.
Определение 1:
Неопределённый интеграл.
Определение 1:Если функция F(x) — первообразная для функции f(x), то множество функций F(x)+C, где С — произвольн
Свойства неопределённого интеграла.
Свойство 1:Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражени
Основные методы интегрирования.
1) Непосредственное интегрирование;
2) Метод подстановки;
3) Метод интегрирования по частям.
1) Непосредственное интегрирование.
Основные методы интегрирования.
Непосредственное интегрирование
Вычисление интегралов с помощью таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределённых интегралов.
Метод
Интегрирование рациональных функций.
Интегралы от рациональных функций всегда выражаются через элементарные функции.
Задача интегрирования рациональной функции сводится к нахождению интегралов следующих четырёх типов:
Некоторые интегралы, зависящие от радикалов.
Символ R(x; y) здесь и в дальнейшем обозначает дробь, числитель и знаменатель которой – многочлены относительно букв х, у. Такая дробь называется рациональной фун
Подстановки Эйлера.
Интегралы вида:
рационализируются одной из подстановок Эйлера:
Определённый интеграл.
Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [а, b], а<b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками а=x0<x1
Формула Ньютона Лейбница.
Теорема (Основная теорема интегрального исчисления):Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b]. Тогда, если функция F(x) является некоторой
Интеграл функции, имеющей разрыв
(несобственный интеграл II рода)
Пусть функция f(x) имеет разрыв в точке х=b, а остальных точках этого промежутка (а; b) она непр
Понятие числового ряда.
Пусть дана числовая последовательность а1, а2, а3, ..., аn, ... Выражение вида
Разложение функций в степенной ряд
Разложить функцию f(x) в степенной ряд, расположенный по степеням х - х0 – это значит составить ряд, у которого радиус сходимости не равен нулю, а сумма тождественно равна данной
Дифференциальные уравнения первого порядка
Определение 1.Уравнение вида F(x, y, y')=0, где х — независимая переменная; у — искомая функция; у' — ее производная, называется дифференциальным уравнением
Лекция 5
§94 Линейное ДУ I порядка (ЛДУ I)
Пусть ДУ I имеет вид: Мdx+Ndy=0 – оно называется ЛДУ I, если отношение M/N сод
Метод Бернулли.
Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в виде произведения двух других функций, то есть с помощью подстановки y=u·v, где u(x) и v(x) – неизвестные функции от х, причём одна из них произвольна,
Метод Лагранжа (метод вариации постоянной).
Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в следующей последовательности:
Составим вспомогательное ЛОДУ I у¢+Р(x)у=0 и решим его как уравнение с разделяющимися переменными. То есть
Степенной ряд.
Степенным рядом называется ряд вида (1): ао+а1х+а2х2+...+апхп+...,
а также ряд более общего вида (2): а
Расположенного по степеням х
Теорема Область сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х есть (-R, R), симметричный относительно точки х=0. Иногд
Расположенного по степеням х-а
Теорема Область сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х-а есть некоторый промежуток (-R+а R+а), симметричный отн
Дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение вида F(x, y, y')=0, где х — независимая переменная; у — искомая функция; у' — её производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.
Метод Бернулли.
Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в виде произведения двух других функций, то есть с помощью подстановки y=u·v, где u
Новости и инфо для студентов