Наибольшее и наименьшее значение функции

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке .

Решение.Найдем критические точки (подозрительные на экстремум) функции из условия, что или не существует:

,

во всех точках существует, , когда .

Раскладывая левую часть на множители, получаем:

,

отсюда находим критические точки: , , .

Из этих точек отрезку принадлежат только две: и . Найдем значение функции в этих точках и на концах отрезка, т.е. при и :

;

;

;

.

Итак, получили , .

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке .

Решение., определена во всех точках; при . На отрезке при .

Имеем три точки: , , , в которых могут достигаться наибольшее и наименьшее значения.

; ;

.

Итак, , .

Среди многих применений производной функции одного переменного важное значение имеет решение так называемых задач на максимум (минимум).

Пример 3. Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, у которого сумма катета и гипотенузы равна .

Решение.Обозначим один из катетов треугольника через , тогда гипотенуза будет равна , а другой катет, по теореме Пифагора будет равен:

.

Площадь треугольника , так как должна быть максимальной, то или не существует. Находим производную:

.

не существует, если , но тогда катет окажется равным гипотенузе, что невозможно. , если . Тогда , гипотенуза будет равна ; т.е. , где – угол, прилежащий к катету . Значит, ; другой угол будет . В этой точке:

,

при имеем: , значит, это действительно точка максимума.

Искомый треугольник – это прямоугольный треугольник с углами , и сторонами , и .

Пример 4. Из трех одинаковых досок изготовить симметричный желоб с наибольшей площадью поперечного сечения.

Решение.Ширину данных досок обозначим через . Поперечное сечение изображено на рис. 3. 1.

Обозначим через угол (), тогда , .

Площадь поперечного сечения (площадь трапеции) будет:

.

Наибольшее значение эта функция принимает в точке максимума, а необходимым условием того, что точка является точкой максимума функции , является то, что или не существует. Найдем точку максимума:

,

но всегда существует. Точки, в которых , находятся из уравнения: . Тогда или . Если , то , но в этом случае никакого желоба не получится, так как . Остается случай, когда , тогда , так как .

Проверим, является ли эта точка точкой максимума . Найдем :

.

Значит, действительно точка максимума:

.