Решение

1) Исходя из того, что известны области определения элементарных функций и , получаем область определения функции:

: .

2) Так как функция определена только для положительных значений , то функция не является симметричной.

3) Найдем точки пересечения с осью : или , т.е. , откуда . Точки пересечения с осью не существует, так как никогда не обращается в нуль. Поэтому график функции пересекается с осями координат в единственной точке – .

4) Данная функция непрерывна на всей области определения.

5) Изучим поведение функции на левом конце области определения, для этого вычислим предел:

.

Отсюда прямая (ось ) является вертикальной асимптотой к графику функции.

Найдем уравнения невертикальных асимптот. Для этого вычислим (используя правило Лопиталя) следующие пределы:

,

.

Полученная прямая (ось ) является горизонтальной асимптотой графика функции.

6) Найдем : .

Производная равна нулю, когда , то есть при . Производная существует на всей области определения функции . Следовательно, существует только одна критическая точка первого рода.

7) Нанесем область определения и критическую точку на числовую ось и найдем знаки производной на всех интервалах (рис. 3.5):

, .

Так как при переходе через критическую точку производная меняет знак, то – точка экстремума функции (точка максимума). На интервале функция возрастает, а на – убывает.

8) Найдем :

.

Производная второго порядка равна нулю, если или , . Отсюда получаем: , . Так как не входит в область определения функции, то существует только одна критическая точка второго рода .

9) Нанесем область определения функции и критическую точку второго рода на числовую ось (рис. 3.6). Найдем знаки на всех полученных интервалах:

, .

При переходе через критическую точку производная второго порядка сменила знак, следовательно, это точка перегиба графика функции. На интервале график является выпуклым, а на – вогнутым.

10) Найдем значения функции при и :

, .

Для более точного построения графика вычислим значения функции в дополнительной точке: .

11) Данные, необходимые для построения графика, сводим в таблицу и согласно последней строке в таблице строим график функции (рис. 3.7).

 

	+		–	–	–
	–	–	–		+

 

 

 

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ................................................................................................................ 63

3.1. Предел функции............................................................................................................................................................ 63

3.2. Производная функции................................................................................................................................................... 66

3.3. Дифференциал функции................................................................................................................................................ 69

3.4. Наибольшее и наименьшее значение функции............................................................................................................. 70

3.5. Правило Лопиталя......................................................................................................................................................... 72

3.6. Исследование функций и построение их графиков...................................................................................................... 74