Реферат Курсовая Конспект
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами - раздел Математика, Интегрирование линейных ДУ высших порядков 1.3.1. Теоретическая Справка Дифференциально...
|
1.3.1. Теоретическая справка
Дифференциальное уравнение
(3.1)
называется линейным неоднородным уравнением с постоянными коэффициентами .
Если , то уравнение (3.1) становится однородным:
. (3.2)
Общее решение уравнения (3.1) определяется формулой
, (3.3)
где - общее решение соответствующего однородного уравнения (3.2), а - частное решение данного неоднородного уравнения.
В простейших случаях частное решение может быть найдено с помощью метода неопределенных коэффициентов. Если , (3.4)
где - многочлен степени , то частное решение ищут в виде
, (3.5)
где - многочлен той же степени с неопределенными коэффициентами, если не является корнем характеристического уравнения, соответствующего уравнению (3.2), и в виде
, (3.6)
если - корень указанного уравнения кратности
В частности, при и если не является корнем характеристического уравнения, то существует частное решение , если - корень характеристического уравнения кратности , то .
Если (3.7)
где и - многочлены, наибольшая степень которых , то частное решение ищут в виде
(3.8)
если не является корнем характеристического уравнения, и в виде
(3.9)
где и - многочлены степени , если - корень указанного уравнения кратности .
Если (3.10)
где , , - функции вида (3.4) и (3.7), то существует частное решение
(3.11)
определяемое указанными выше правилами.
В общем случае частное решение уравнения (3.1) может быть найдено с помощью метода вариации произвольных постоянных (метода Лагранжа). Если
общее решение однородного уравнения (3.2), то общее решение неоднородного уравнения (3.1) ищут в виде (3.12)
Функции находят из системы уравнений:
(3.13)
Пример 3.1. Решить уравнение .
Решение. Это линейное неоднородное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами, правая часть которого есть функция вида (3.4), где т.е. .
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения .
Так как характеристическое уравнение имеет корни , , , то общее решение однородного уравнения определяется формулой
.
В соответствии с формулой (3.5) частное решение исходного уравнения ищем в виде
,
поскольку число не является корнем характеристического уравнения - многочлен второй степени.
Находим производные функции :
;
;
.
Подставляя выражения для и в данное уравнение и сокращая на , получим тождество
,
откуда
и ,
поэтому .
Общее решение данного уравнения имеет вид
.
Решение в MATLAB
>> dsolve('D3y+y=(e^2*t)*(t^2+t+1)')
Решение в Matlab
ans = -6*e^2+e^2*t+e^2*t^2+e^2*t^3+C1*exp(-t)+C2*exp(1/2*t)*sin(1/2*3^(1/2)*t)+C3*exp(1/2*t)*cos(1/2*3^(1/2)*t)
>> y0=[-0.1 -1 1];
>> tspan=[0 15];
>> [t,y]=ode45('ex31',tspan,y0);
>> plot(t,y(:,1))
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Интегрирование линейных ДУ высших порядков Уравнения допускающие понижение порядка Уравнения... Пример Решить уравнение... Решение аналитическое...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов