1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Алгебра матриц
На множестве матриц определены операции сложения, умножения на число, умножения матриц.
Складывать можно прямоугольные матрицы одного и того же порядка. Сложение выполняется поэлементно.
Умножать на число можно любую матрицу. Умножение выполняется поэлементно (то есть каждый элемент матрицы умножается на скаляр).
Пример 1.3.1.
; .
Умножать можно матрицу порядка m´k на матрицу порядка k´n, то есть длина строки первой матрицы должна быть равна длине столбца второй матрицы. В произведении получится матрица порядка m´n. Ее элемент, находящийся в i-ой строке и j-ом столбце, получается умножением элементов i-ой строки первой матрицы на соответствующие элементы j-ого столбца второй матрицы и сложением получившихся произведений.
Пример 1.3.2.
==.
Матрицей, транспонированной к матрице А, называется матрица АТ, строки которой совпадают с соответствующими столбцами матрицы А.
Для квадратных матриц любого порядка n существует единичная матрица Е, обладающая свойством АЕ = ЕА = А для любой матрицы А. Единичная матрица имеет вид
Е = .
Обратной к квадратной матрице А называется матрица А-1 такая, что
А×А–1 = А–1×А = Е.
Матрицу, обратную к матрице А, существует при ïAï¹ 0. Ее можно вычислить по формуле
A–1 = ïAï–1 A*,
где A* – матрица, союзная с А. Она получается из А заменой каждого элемента его алгебраическим дополнением и последующим транспонированием.
Пример 1.3.3.Найти матрицу, обратную к
А = .
Решение. Имеем
ïAï = 6 + 18 + 60 – 9 – 16 – 45 = 14;
A* = ;
A–1 = .
Вернемся к системе m линейных уравнений с n переменными
(1)
Выделим связанные с ней матрицы: основная матрица А, столбец свободных членов В и столбец переменных Х:
, , .
Заметим, что
АХ = = .
Заключаем, что это произведение матриц представляет собой матрицу из одного столбца, в котором записана левая часть системы. Правая часть – это столбец свободных членов, то есть матрица В. Значит, система может быть записана в матричном виде
АХ = В. (2)
Это очень компактная запись, но кроме этого она позволяет решать систему матричными средствами. Это возможно, если основная матрица системы А является квадратной и обратимой. Тогда, умножив уравнение (2) слева на матрицу А-1, получим Х = А-1В. Это и есть ответ, то есть столбец значений переменных.
Пример 1.1.1.Решить систему
Решение. Найдем обратную к основной матрице системы А = :
ïAï= 3(–15 – 1) – 2(–10 – 6) – 3(2 – 18) = –48 + 32 + 48 = 32;
A* = ; A–1 = .
Отсюда получаем решение системы
Х = А-1В ====.
Дополнительные формулы.
.
ж)Воспользуемся формулой (13):
.
У п р а ж н е н и я
1.6.1. Найдите косинус угла С треугольника АВС, если заданы координаты вершин А(1; –3; 2), B(1; 0; –2), С(3; 1; 3).
1.6.2. У параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 заданы координаты вершин А(1; 3; 0), B(–1; 2; 2), D(3; 2; –2), В1(0; 7; 1). Найдите:
а) объем параллелепипеда;
б) площадь грани ABCD.
Прямые и плоскости в пространстве
Эллипс
Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.
Выведем уравнение эллипса. Для этого расположим координатные оси так, чтобы фокусы F1 и F2 располагались на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. Пусть расстояние между ними равно 2с, значит, они имеют координаты
F1(–с, 0) и F2(с, 0). Пусть M(x, y) – произвольная точка эллипса. Тогда из определения эллипса получаем уравнение
MF1 + MF2 = 2a.
Подставляем MF1 = , MF2 = , получаем
+= 2а.
Это уравнение приводится к виду
(a2 – c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2).
При этом a >c, поэтому a2 – c2 > 0, и можно ввести обозначение a2 – c2 = b2. Уравнение тогда приводится к виду b2x2 + a2y2 = a2b2. Разделив его на a2b2, получим каноническое уравнение эллипса
.
Эллипс симметричен относительно координатных осей и пересекает ось абсцисс в точках А1(–с, 0) и А(с, 0), ось ординат в точках B1(–b, 0) и B(b, 0). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок А1А называется большой осью эллипса, отрезок В1В – малой осью. Таким образом, а и b – это длины большой и малой полуосей.
Эксцентриситетом эллипса называется число . Для любого эллипса . Эксцентриситет характеризует степень сжатия эллипса: чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее сжат эллипс. При = 0 эллипс является окружностью. При этом фокусы эллипса сливаются в одну точку, совпадающую с центром эллипса.
Индивидуальные задания для студентов
Каждый студент подставляет в задания свои значения параметров а и b.
1. Решите систему
2. Вычислите определитель
3. Найдите произведение матриц .
4. Найдите обратную к матрице А = .
5. Найдите базис системы векторов = (1, 3, 2, 2), = (2, 5, 3, 2), = (0, 1, 1, 2), = (2, a, 1, b) и выразите остальные векторы через базис.
6. На плоскости даны три точки А(2; 3), B(3; –a), C(–b; 1).
а) Постройте уравнение прямой АВ;
б) Найдите длину отрезка АС;
в) Найдите тангенс угла между прямыми АВ и АС;
г) Найдите площадь треугольника АВС;
д) Постройте уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины С;
е) Постройте уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ;
ж) Найдите расстояние от точки С до прямой АВ.
7. В пространстве даны четыре точки А(2; 3; 0), B(1; 2; –a), C(–b; 2; 1), D (4; 0; 2).
а) Постройте уравнение плоскости АВС;
б) Постройте уравнение перпендикуляра, проведенного к плоскости АВС через точку D;
в) Найдите расстояние от точки D до плоскости АВС.
8. У параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 заданы координаты вершин А(2; 3; 0), B(1; a; –2), C(–1; 2; b), В1(3; 0; 2). Найдите:
а) объем параллелепипеда;
б) площадь грани ABCD.