Определение геометрического вектора. Линейные операциисложение, умножение на число над векторами и их свойства
Ответы на экзаменационные вопросы по векторной алебре
Определение геометрического вектора. Линейные операции(сложение, умножение на число) над векторами и их свойства.
Вектор представляет собой геометрический объект, характеризуемый длиной и направлением.
- Сложение векторов
Пусть даны два вектора 
и 
. Приложим вектор к точке 
(концу вектора ) и получим вектор 
(рис.1.7,а; здесь и далее равные векторы отмечены одинаковыми засечками). Вектор 
называется суммой векторов
- Вычитание векторов
Вектор 
называется противоположным вектору 
, если их сумма равна нулевому вектору: 
. Противоположный вектор 
имеет длину 
, коллинеарен и противоположно направлен вектору . Нулевой вектор является противоположным самому себе.
- Умножение вектора на число
Произведением ненулевого вектора а на действительное число 
называется вектор 
, удовлетворяющий условиям:
1) длина вектора равна 
, т.е. 
;
2) векторы и коллинеарные 
;
3) векторы и одинаково направлены, если 
, и противоположно направлены, если 
.
Произведение нулевого вектора на любое число 
считается (по определению) нулевым вектором: 
; произведение любого вектора на число нуль также считается нулевым вектором: 
. Из определения произведения следует, что:
а) при умножении на единицу 
вектор не изменяется: 
;
б) при умножении вектора на 
получается противоположный вектор: 
;
в) деление вектора на отличное от нуля число 
сводится к его умножению на число 
, обратное 
.
г) при делении ненулевого вектора на его длину, т.е. при умножении на число 
получаем единичный вектор, одинаково направленный с вектором .
Действительно, длина вектора 
равна единице: 
.
Вектор 
коллинеарен и одинаково направлен с вектором , так как; 
д) при умножении единичного вектора на число получаем коллинеарный ему вектор, длина которого равна 
.
- Свойства линейных операций над векторами
Линейные комбинации векторов. Коллинеарность двух векторов. Компланарность трех векторов. Линейная зависимость компланарных векторов. Линейная зависимость четырех векторов в пространстве.
Линейные комбинации векторов
Вектор называется линейной комбинацией векторов , если он может быть представлен в виде где — некоторые числа. В этом случае говорят, что вектор разложен по векторам , а числа называют коэффициентами…Коллинеарность
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой
Компланарность
Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости
Скалярное произведение векторов, его свойства.
Скалярное произведение векторов и : где - угол между векторами и ; если либо , тоБазис векторов на плоскости и в пространстве. Ортонормированный базис.
Числа x и y называются координатами вектора. Векторы и называются базисом… Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора , взятые в определённом порядке (рис.1.32). Эти векторы…Проекция вектора на направление другого вектора
. В координатной форме формула для проекции примет вид .7)
Определители 2-го и 3-го порядка. Их определение и вычисление. Правило Саррюса
(1). Число называется определителем второго порядка, соответствующего таблице (1).… .Векторное произведение векторов. Определение и свойства. Линейность векторного произведения по сомножителям. Векторное произведение в декартовых прямоугольных координатах. Вычисление площади параллелограмма
Векторным произведением вектора 
на вектор 
называется вектор, обозначаемый символом 
и определяемый следующими тремя условиями:
1). Модуль вектора равен 
, где 
- угол между векторами и ;
2). Вектор перпендикулярен к каждому из вектора и ;
3). Направление вектора соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы , и приведены к общему началу, то вектор должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, больой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору ), а указательный - по второму (то есть по вектору ).
Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:
.
Модуль векторного произведения равен площади S параллелограмма, построенного на векторах и :
.
Само векторное произведение может быть выражено формулой
,
где 
- орт векторного произведения.
Векторное произведение обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. В частности, 
.
Если система координатных осей правая и векторы и заданы в этой системе своими координатами:
, 
,
то векторное произведение вектора на вектор определяется формулой
,
или
.
