АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Геометрические векторы, операции над векторами.
В физике и других науках встречаются два типа величин: скалярные и векторные. Скалярные величины характеризуются численным значением в выбранной системе единиц. Это масса, температура, объем. Векторные величины характеризуются чис-ленным значением и направлением. Это сила, скорость,ускоре-ние.
Определение 1. Геометрический вектор - это направленный отрезок.
Рис.1
Определение 2. Модуль вектора или длина – это расстояние между началом и концом.
Обозначения - 
,
.
Определение 3. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаково направлены (параллель-ны и направлены в одну сторону).
Рис.2
На рис.2 векторы 
и 
равные, векторы 
и 
имеют разную длину, векторы 
и 
противоположны, векторы 
и 
имеют разные направления.
Определение 4. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельны одной прямой (
) .
Определение 5. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.
Операции над векторами.
Сложение.
Вычитание.
Рис.7 Вычесть из одного вектора другой – это значит к данному век-тору прибавить вектор, противоположный второму:Умножение вектора на число.
Если векторы коллинеарны, то .Свойства операции.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
Доказательство 4. Если 
, то 
;
если 
, то 
;
если 
и имеют разные знаки, то в обеих частях равенства будут нули.
5.
Рис.9
Определение 8.Единичный вектор, направление которого сов-падает с направлением вектора, называется ортом и обозна-чается 
.
(1)
Линейная зависимость и независимость векторов. Базис.
(2) выполняется только при условии . Если в равенстве (2) хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то векторы называются линейно… Утверждение 1.Система ненулевых векторов зависима тогда и только тогда, когда некоторый вектор линейно выражается…Проекция вектора на ось, свойства проекции.
Определение 12. Проекцией точки на ось называется основание перпендикуляра,…Свойства проекции.
1.Равные векторы имеют равные проекции, то есть если , то . Доказательство.Если , то , тогда из формулы (4) следует, что проекции векторов… 2.Проекция суммы векторов равна сумме проекций, то есть .Различные системы координат на плоскости и в пространстве.
Аффинная система координат в пространстве.
Рис.17Скалярное произведение, свойства.
Определение16.Углом между векторами и называется наименьший угол между этими векторами, отнесенными к общему началу.Свойства скалярного произведения.
2. Доказательство. . 3.Скалярное произведение векторов в декартовой системе координат.
Приложения скалярного произведения.
1.Вычисление проекции
(20)
2.Вычисление косинуса угла между векторами
(21)
3.Условие перпендикулярности векторов
(22)
4. Вычисление работы силы.
Нужно вычислить работу 
силы 
, если точка, на которую действует сила, совершила перемещение 
.
Рис.24
Если точка движется по направлению силы, то по определению, работа равна произведению величины силы на длину перемеще-ния, то есть
. Если точка движется под углом 
к направлению силы, то работает только та составляющая силы, которая направлена по линии перемещения ,перпендикуляр-ная составляющая 
уравновешивается сопротивлением.
, следовательно, 
, получаем формулу:
(23)
Работа силы по перемещению точки равна скалярному произ-ведению вектора силы на вектор перемещения.
Пример 3.Даны векторы 
и 
. Найти коси-нус угла между векторами.
Решение. Воспользуемся формулой (21), вычисляем:
, 
, 
.
Получаем 
.
Векторное произведение, свойства.
Определение 18.Тройка векторов называется правой (левой) тройкой, если…Свойства.
Доказательство.Пусть , построим вектор ; , то есть длины векторов и равны , но чтобы тройка векторов была правой, вектор дол-жен быть противоположен… 2.Если в векторном произведении изменить знак одного из мно-жителей, то…Доказательство.
Рис.27 3. Доказательство.а) Для очевидно; б) для : если длина одной из сторон параллелограмма изменяется в раз, то площадь параллелограмма тоже изме-нится в…Векторное произведение в декартовой системе координат.
дение.Приложения векторного произведения.
Вычисление площадей.
(25)Смешанное произведение, свойства.
Пусть даны три вектора 
.
Определение 20. Смешанным произведением данных векторов называется число
(29)
Геометрический смысл смешанного произведения.
Рис.32 Пусть векторы некомпланарные и образуют правую тройку. Найдем объем… . Если вектор будет направлен в противоположную сторону, - левая тройка и , следовательно, , то есть объем…Свойства.
1. Если в смешанном произведении поменять местами какие-то два множителя, то смешанное произведение изменит знак, то есть . 2. Если в смешанном произведении сделать циклическую пере-становку множителей,… .Смешанное произведение в декартовой системе координат.
Пусть даны векторы 
или
(30)
Приложения смешанного произведения.
1. Вычисление объемов:
Пусть на векторах построен параллелепипед, тогда его объем вычисляется по формуле:
(31)
Пусть на векторах построена треугольная пирамида, тогда ее объем вычисляется по формуле:
(32)
2. Тройка векторов правая (левая) тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов положительное ( отри-цательное).
3. 
- это условие компланарности векторов.
Пример 5.Даны точки 
. Проверить, лежат ли эти точки в одной плоскости.
Решение.Найдем векторы 
. Проверим, являются ли эти векторы компланарными, восполь-зуемся условием компланарности:
,
следовательно, векторы некомпланарны, а это значит, что точки не лежат в одной плоскости.