ТЕМА I. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Определение 1.Комплексным числом называется выражение вида z=x+yi, где x,yÎR, i – мнимая единица, i²= -1.

 

В конце методических указаний в теме 7 мы приведем более корректное определение «поля комплексных чисел», использующее общие алгебраические структуры. Здесь же ограничимся стандартным набором правил действия над комплексными числами:

1) Сложение (вычитание)

(х₁+y₁i)±(x₂+y₂i)=(x₁±x₂)+(y₁±y₂)i.

2) Умножение

(х₁+y₁i)±(x₂+y₂i)=х₁х₂-у₁у₂+(x₁y₂+y₁x₂)i.

3)Деление в алгебраической форме

.

Дальнейшее продвижение невозможно без применения геометрической интерпретации числа z как точки плоскости М(х,у) и введение полярной системы координат (r,j), где j - угол между осью ОХ и вектором . Как правило ниже jÎ[0;2π], другие варианты стандартным образом приводятся к указанному виду. Известно из курса геометрии, что x=rcosj, y=rsinj, а тогда z=x+yi=rcosj+rsinji, т.е.

z=r(cosj+isinj). (1)

Представление (1) называется тригонометрической формой записи комплексного числа, число r=|z| называется модулем комплексного числа z, а j=argz – аргументом числа z.

Нетрудно доказать, что если z₁=r₁(cosj₁+isinj₁), z₂=r₂(cosj₂+isinj₂), то

z₁z₂=r₁r₂(cos(j₁+j₂)+isin(j₁+j₂)), (2)

т.е. при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Аналогично , где r₂¹0.

Из формулы (2) легко получить так называемую формулу Муавра для числа z, записанного в форме (1):

zⁿ=rⁿ(cosnj+isinj), где nÎN, (3)

а из последней формулы несколько более сложными рассуждениями показать, что

(4)

где kÎ{0;1;…;n-1}.

Этот выбор n подряд идущих целых значений k позволяет найти все n различных значений для любого комплексного числа z¹0. Понятно, что .

В курсе математического анализа будет доказана следующая формула Эйлера, позволяющая рассмотреть все другие элементарные функции для комплексных значений аргумента:

e^ia=cosa+isina, aÎR. (5)

Формула (5) позволяет записать комплексное число еще в одной форме. Из (1) и (5) получим так называемую показательную форму записи

z=re^ij.

Кратко опишем основные функции комплексного переменного:

1) Если z=x+yi, то e^z=e^xe^yi=e^x(cosy+isiny).

2) Если z=r(cosj+isinj), L_nz=lnr+i(j+2πk), kÎZ.

3) Если в формуле (5) заменить a на (-a), то e^-ia=cosa-isina, а тогда .

Следовательно, . Остальные тригонометрические и все обратные тригонометрические функции комплексного аргумента выводятся стандартным образом из последних двух, и мы на них здесь останавливаться не будем.

Важнейшей задачей алгебры является решение алгебраических уравнений, т.е. уравнений вида

a_nzⁿ+a_n-1z^n-1+…+a₁z+a₀=0, (6)

где все a₀,a₁,…,a_nÎR, a_n¹0; n – степень уравнения (6), a₀,a₁,…,a_n – коэффициенты уравнения (6).

Первые проблемы с решением алгебраических уравнений в курсе средней школы возникают уже при n=2. При n=2 уравнение (6) называют квадратным. Его удобнее записать в виде

az²+bz+c=0. (7)

Алгоритм решения этого уравнения очень прост. Найдем дискриминант D=b²-4ac. Случаи D>0 и D=0 очевидны, в случае же D<0 уравнение (7) не имеет вещественных корней ввиду того, что при D<0 не существует . Однако формула (4) позволяет вычислять комплексные значения для любых . В частности, и т.д. Это позволяет сделать вывод о том, что квадратное уравнение (7) всегда имеет корни, если допустить кроме вещественных, еще и комплексные значения.

Пример 1. Решит уравнение z²+4z+13=0.

Решение. Найдем дискриминант D=16-52=-36, .Поэтому Обозначим С={x+yi, xyÎR} – множество всех комплексных чисел. Принято отождествлять множество чисел вида {x+0i, xÎR} с множество всех вещественных чисел R. Тогда RÌC, т.е. C – расширения множества R.

Великий немецкий математик К.Гаусс установил следующий результат, который принято называть основной теоремой алгебры.

Теорема 1. Любое алгебраическое уравнение (6)имеет хотя бы один корень zÎC.

Следующая проблема, связанная с решением уравнения (6), состоит в получении точных формул, позволяющих получить все решения. Эта проблема была решена в 16 веке итальянскими математиками Кардано (при n=3) и Феррари (при n=4). В 1831г. Французский математик Галуа показал, что при n³5 таких формул не существует.

Остановимся подробнее на описании остроумного алгоритма, предложенного Кардано для решения кубического уравнения. С помощью выделения полного куба общее уравнение (6) при n=3 можно свести к уравнению

z³+pz+q=0, p,qÎR. (8)

Применим очевидное тождество

(a+b)³-3ab(a+b)-(a³+b³)=0.

Пусть z=a+b, где a,b – решение системы

 

Тогда a³b³= , для t=a³ получим квадратное уравнение вида . Выберем любое решение этого уравнения t₁ и найдем в случае t₁¹0 ( если t₁=0, то р=0, а тогда из уравнения (8) ) три значения по формуле (4). Для каждого значения а получим , а тогда z=a+b дает все кори уравнения (8).

Пример 2. Применить алгоритм Кардано для решения уравнения z²-6z+4=0.

Решение. Здесь p=-6, q=4. Для t=a³ имеем квадратное уравнение t²+4t+8=0. Решая это уравнение найдем a³=-2+2i, . Запишем число -2+2i в тригонометрической форме

 

По формуле (4)

 

т.е. получим соответственно три значения а, подставляя последовательно k=0 (а₁), k=0 (а₂), k=0 (а₃):

 

Найдем соответствующие значения :

 

 

Ответ: .

Замечание1. Исходное уравнение можно решить существенно короче, подобрав корень z₁=2 среди делителей свободного члена уравнения числа 4. Далее «делением столбиком» находим, что z³-6z+4=(z-2)(z²+2z-2). Наконец, решая квадратное уравнение z²+2z-2=0, находим .

Замечание 2. Отметим, что все три корня – вещественные, однако все промежуточные выкладки в алгоритме Кардано существенно используют теорию комплексных чисел. Это обстоятельство чрезвычайно важно. Хотя комплексные числа представляют из себя достаточно абстрактный объект, но алгоритмы, использующие их, дают огромную пользу для многочисленных реальных задач математики, физики и других научных дисциплин.