ТЕМА 5. РЕШЕНИЕ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ

Мы рассмотрим несколько примеров нахождения целочисленных решений алгебраических уравнений с несколькими переменными (диофантовых уравнений).

Пример 9. Найти все решения линейного уравнения 5х-7у=13, х,уÎZ.

Решение. Сведем к примеру 8: 5х º 13 (mod 7) Þ х º 4 (mod 7) Þ х º 4 (mod 7), т.е. х=4+7k, kÎZ, а тогда из исходного уравнения . Итак, х=4+7k, у=1+5k, kÎZ.

Пример 10.Уравнение Пифагора х²+у²=z² имеет «основную» серию решений х=2МN, у=N²-M², Z=N²+M², где N,M – натуральные числа, N>M, N-M – нечетное число. Остальные решения уравнения Пифагора получаются заменами х«у; х®-х; у®-у; z®-z; (x,y,z)®(kx,ky,kz), kÎZ; x=0, y=±z и т.д.

В частности, при М=1, N=2 получим х=4, у=3, z=5 – стороны знаменитого египетского треугольника.

Пример 11. Найти все целочисленные решения уравнения х²+6ху+5у²=12.

Решение. Разложим на множители левую часть уравнения: (х+5у)(х+у)=12. Тогда х+5у, х+уÎZ, (х+5у)-(х+у)=4у – делится на 4. Поэтому имеем только 4 возможности:

т.е. (1;1), (7;-1), (-1;-1), (-7;1) – искомые решения.

Отметим, что не существует общего алгоритма для решения диофантовых уравнений.