Матрицы. Порядок матрицы. Диагональная, треугольная и единичная матрица
Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой кроме диагональных — нулевые , иногда записывается как:
Единичная матрица — матрица, при умножении на которую любая матрица (или вектор) остается неизменной, является…
Матрицы. Операции над матрицами. Транспонирование матрицы. Умножение матриц.
Свойства умножения матриц на число:
1. 1A = A;
Свойства сложения матриц:
1.коммутативность: A+B = B+A;
для вектора-столбца v (получая новый вектор-столбец Av):
для вектора-строки s (получая новый вектор-строку sA):
Такая матрица называется транспонированной матрицей для и обозначается так… Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. Матрица размера при этом…
Определители. Определители 2 и 3 порядков.
На дополнительном листе!!!
Вычисление определителей порядка выше 3.
Определение 4. Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей, если , и невырожденной или неособенной матрицей, если .
Утверждение. Если обратная матрица существует, то она единственна.
Утверждение. Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и (1) где -…
Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.
Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
В конце листа!!
Для системы линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем)
с определителем матрицы системы , отличным от нуля, решение записывается в виде
Доказательство (условия совместности системы)
[править]Необходимость
Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что . Следовательно, столбец является линейной комбинацией…
2) прибавление к какой-нибудь строке (столбцу) другой ее строки (столбца), умноженной на произвольное число;
3) перестановку местами любых двух строк (столбцов).
Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется…
2)во-вторых, методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число… 3)в-третьих, метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.
- неизвестные переменные, - коэффициенты (некоторые действительные или… Такую форму записи СЛАУ называют координатной.
Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями…
Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут: