Таблиця 8.6 – До розрахунку параметрів лінійної регресії
Таблиця 8.6 – До розрахунку параметрів лінійної регресії - раздел Математика, КУРС ЛЕКЦІЙ СТАТИСТИКА Номер Підприємства
Обсяг Виробництва, Млн. Од., ...
Номер підприємства
Обсяг виробництва, млн. од., х,
Валові витрати у, млн.грош.од.
ху
х2
1,1
25,3
1,21
1,4
35,0
1,96
1,2
31,2
1,44
2,0
66,0
4,00
1,5
40,5
2,25
1,3
2,8
36,4
1,69
1,8
54,0
3,24
1,7
54,4
2,89
Разом
12,0
342,8
18,68
= 12; = 224; = 342,8; = 18,68;
Тобто необхідно рішити систему рівнянь:
224 = 8b0 + 12b1
342,8 = 12b0 + 18,68 b1
Рівняння регресії має вигляд
,
тобто кожна одиниця зростання обсягу виробництва дає приріст валових витрат в середньому 10 млн. грош. од. Якщо обсяг виробництва нульовий (х = 0), то підприємство несе постійні витрати в суммі 13,0 млн. грош. од.
Рівняння регресії відбиває закон зв’язку між х і у не для окремих елементів сукупності, а для сукупності в цілому; закон, який абстрагує вплив інших факторів, виходить з принципу «за інших однакових умов».
На 3-му етапі відбувається визначення щільності зв'язку. Воно, як і в методі аналітичних угрупувань, засновано на правилі складання дисперсій.
Але, так як в регресійному аналізі оцінками лінії регресії є її теоретичні значення, то відхилення індивідуальних значень ознаки у від загальної середньої можна подати як наступні дві складові:
- відхилення від лінії регресії (у – Y);
- відхилення лінії регресії від середньої .
Відхилення є наслідком дії фактора х, відхилення — наслідком дії інших факторів.
Взаємозв’язок факторної та залишкової дисперсій описується правилом:
,
де — загальна дисперсія ознаки y;
- факторна дисперсія;
σ - залишкова дисперсія
де Y, у|в| - відповідно теоретичні та фактичні значення результативної ознаки.
Значення факторної дисперсії буде тим більшим, чим сильніший вплив фактора х на y. Відношення факторної дисперсії до загальної розглядається як міра щільності кореляційного зв’язку і називається коефіцієнтом детермінації (аналогічний кореляційному відношенню):
.
Даний показник є|з'являється| універсальним. Його можна застосовувати при будь-якій формі залежності (лінійній або нелінійній).
Приведені формули факторної та залишкової дисперсій вимагають попереднього визначення (розрахунку) теоретичних значень Y для всіх елементів сукупності.
Щоб|аби| зменшити обсяг|об'єм| обчислень|підрахунків|, на практиці використовують іншу розрахункову формулу факторної дисперсії (для лінійної регресії)
Для параболічної регресії другого порядку факторна дисперсія визначається за формулою
Коефіцієнт детермінації, як і кореляційне відношення|ставлення|, набуває значень від 0 до 1. Він характеризує ступінь|міра| близькості кореляційного зв'язку до суворо функціонального. При =0 кореляційний зв'язок між у|в| та х відсутній. При =1 зв'язок між ознаками є|з'являється| функціональним (оскільки|тому що| залишкова дисперсія дорівнює нулю).
Корінь квадратний з|із| коефіцієнта детерміації називають індексом кореляції. Він також змінюється в межах від 0 до 1 й характеризує тісноту зв'язку, проте|однак| економічної інтерпретації не має.
R = .
Індекс кореляції збігається з абсолютною величиною коефіцієнта кореляції Пірсона. Позначається цей коефіцієнт символом r. Оскільки сфера його використання обмежується лінійною залежністю, то і в назві фігурує слово «лінійний». Обчислення лінійного коефіцієнта кореляції r ґрунтується на відхиленнях значень взаємозв’язаних ознак x і у від середніх.
Значення r коливаються|вагаються| від -1 до 1 й характеризують не лише|не тільки| тісноту, але й напрям|направлення| зв'язку. Позитивне значення r означає прямий зв'язок між ознаками, а негативне|заперечне| - зворотній. Прийнято вважати|лічити|, що при ½r½=0 зв'язок відсутній, при ½r½<0,3 – зв'язок слабкий|слабий|, 0,3£½r½£0,7 -| середній, ½r½>0,7 – сильний, ½r½=1 – функційний. На практиці застосовують різні модифікації наведеної формули коефіцієнта кореляції. Наприклад,
де - коваріація| х по у|в|.
Тому часто зустрічається запис
Параметри лінійного рівняння регресії можуть бути також визначені за допомогою рівняння (отриманого|одержувати| на основі використання методу найменших квадратів)
де - відповідно середнє значення у|в| й х за фактичними даними (даними вибірки)
- коефіцієнт кореляції у|в| по х
- коефіцієнт рівняння регресії.
4-й етап. Перевірку істотності зв'язку в регресійному аналізі здійснюють за допомогою тих же критеріїв й по тих же процедурах, що і в аналітичних угрупуваннях. Ступені свободи залежать від числа параметрів рівняння регресії
= m - 1; = n - m
де n, m - відповідно кількість спостережень (обсяг|об'єм| вибірки) й кількість параметрів в рівнянні зв'язку, враховуючи вільний член рівняння.
|цебто|Для лінійної моделі = 2 -1 = 1.
Значущість зв'язку можна перевірити за допомогою таблиць критичних значень коефіцієнта детермінації . Якщо фактичне значення перевищує критичне, це свідчить про істотність зв'язку між факторною та результативною ознаками.
У випадку, якщо|в разі , якщо| використовується F-критерій|, його фактичне значення визначають за формулою
У невеликих сукупностях коефіцієнт регресії схильний до випадкових коливань, тому слід визначати довірчий інтервал коефіцієнта регресії. Середня помилка коефіцієнта регресії визначається за формулою
де - варіація факторної ознаки,
- залишкова дисперсія,
- число ступенів свободи,
m — кількість параметрів рівняння регресії (для лінійної функції m = 2)
Величина граничної помилки залежить від довірчої ймовірності (, де t - коефіцієнт довіри|довір'я|.)
Перевірити слід й його істотність. Коли зв’язок лінійний, істотність коефіцієнта регресії перевіряють за допомогою t-критерію (Стьюдента), статистична характеристика якого визначається відношенням коефіцієнта регресії b до власної стандартної похибки тобто . Якщо розраховане значення перевищує критичне для двостороннього t-критерію, то гіпотеза про випадковий характер коефіцієнта регресії відхиляється, а отже, з визначеною імовірністю вплив факторної ознака на результативну визнається істотним.
Важливою характеристикою регресійної моделі є відносний ефект впливу фактора х на результат у — коефіцієнт еластичності:
.
Він показує, на скільки процентів у середньому змінюється результат у зі зміною фактора х на 1%.
СТАТИСТИКА
для студентів всіх форм навчання
Галузь знань: 0305 Економіка та підприємництво
Напрям(и) підготовки: 6.030504 Економіка підприємства, 6.030507 Маркетинг
СТАТИСТИКА
для студентів всіх форм навчання
Галузь знань: 0305 Економіка та підприємництво
Напрям(и) підготовки: 6.030504 Економіка підприємства, 6.030507 Маркетинг
Предмет статистики.
Слово «статистика» (вiд лат. status — стан речей) означає кількісний облік масових, насамперед соціально-економічних, явищ і процесів. Статистикою називають
Основні категорії статистики.
Основними поняттями (категоріями) в статистиці є поняття статистичної закономірності й статистичної сукупності.
Закономірність — це повторюваність, послідовність і пор
Статистична методологія
Статистична методологія — це комплекс спеціальних, притаманних лише статистиці методів і прийомів дослідження. Вона ґрунтується на загальнофілософських (діалектична логіка) і з
Суть й організаційні форми статистичного спостереження.
Проблема інформаційного забезпечення є першочерговою для будь-якої сфери діяльності. Інформаційне забезпечення — це сукупність відомостей про явища та процеси суспільного жи
Види та способи спостережень.
Класифікуючи статистичні спостереження, визначають їх вид і спосіб реєстрації даних.
Види спостереження розрізняють за двома критеріями: ступенем охоплення одиниць і часом
Помилки спостереження й контроль достовірності даних.
Точність та достовірність даних є найважливішою вимогою статистики. Контроль даних спостереження водночас є методологічним і організаційним питанням. Якщо його розглядати як засіб попере
Суть статистичного зведення.
Зареєстровані у процесі статистичного спостереження значення ознак відбивають увесь діапазон варіації, яка об’єктивно існує в сукупності. При цьому у поодиноких відомостях губиться загальне, законо
Класифікації та групування.
Групування полягає в розділенні сукупності на групи по істотним для них ознаках.
Традиційно цей поділ виконують за такою схемою: із множини ознак, які описують явище,
Основні питання методології групувань.
Як відомо, при проведенні групування ознаки можуть бути атрибутивними або кількісними. Для атрибутивної ознаки число груп відповідає числу їх різновидів.
Наприклад, при розподілі населе
Суть і види статистичних показників.
Статистичний показник — це міра, тобто єдність якісного і кількісного відображення певної властивості соціально-економічного явища чи процесу.
Якісний зміст показника
Абсолютні величини.
Абсолютні величини характеризують розміри соціально-економічних явищ. Ідеться про обсяги сукупності чи окремих її частин (кількість елементів) та відповідні їм обсяги значень ознаки. Так, на товар
Відносні величини.
Поглиблений соціально-економічний аналіз фактів потребує різного роду порівнянь. Результатом порівняння є відносна статистична величина, яка характеризує міру кількісного сп
Середні величини.
Середня величина є узагальнюючою мірою ознаки, що варіює, у статистичній сукупності. Показник у формі середньої характеризує рівень ознаки в розрахунку на одиницю сукупності. В
Середня арифметична.
Оскільки для більшості соціально-економічних явищ характерна адитивність обсягів (виробництво цукру, витрати палива тощо), то найпоширенішою є арифметична середня, яка обчислюється діленням загальн
Середня геометрична
Якщо визначальна властивість сукупності формується як добуток індивідуальних значень ознаки, використовується середня геометрична:
Система економічних показників.
Будь-який показник відтворює лише одну грань процеса або явища. Комплексна характеристика соціально-економічних явищ передбачає використовування системи показників. Кожний показник системи має само
Закономірність розподілу
Статистична сукупність формується під впливом різних причин та умов: з одного боку — типових, спільних для всіх елементів сукупності, а з іншого — випадкових, індивідуальних. Ці чинники взаємозв’яз
Характеристики центра розподілу
Центром тяжіння будь-якої статистичної сукупності є типовий рівень ознаки, узагальнююча характеристика всього розмаїття її індивідуальних значень. Такою характеристикою є середня величин
Характеристики варіації
В одних сукупностях індивідуальні значення ознаки щільно групуються навколо центра розподілу, в інших — значно відхиляються. Чим менші відхилення, тим однорідніша сукупність, а отже, тим більш наді
Види та взаємозв’язок дисперсій
Дисперсія, або середній квадрат відхилення s2 посідає особливе місце у статистичному аналізі соціально-економічних явищ. Вона є невіддільним і важливим елементом
Аналіз концентрації розподілів.
Дуже важливими у статистичному аналізі є характеристика нерівномірності розподілу певної ознаки між окремими складовими сукупності, а також оцінка концентрації значень ознаки в окремих її частинах
Суть вибіркового спостереження.
Вибіркове спостереження— такий вид несуцільного спостереження, при якому обстежуються не всі елементи сукупності, що вивчається, а лише певним чином дібрана їх частина. Сукупні
Вибіркові оцінки середньої та частки. Довірчий інтервал
У статистиці використовують два типи оцінок параметрів генеральної сукупності — точкові та інтервальні.
Точкова оцінка — це значення параметра за даними вибірки: вибір
Різновиди вибірок.
Формування вибірки виконується за певними правилами. Передусім визначається основа вибірки. У сукупностях, які складаються з «фізичних» елементів, одиниця основи може репрезентувати або окремий еле
Метод аналітичних групувань
Метод аналітичних угрупувань полягає в тому, що всі елементи сукупності групують за факторною ознакою х і в кожній групі обчислюють середні значення результативної ознаки у, тобто лін
Регресійний аналіз
В регресійному аналізі оцінюється теоретична лінія регресії.
Теоретична лінія регресії описується певною функцією
Множинна регресія.
Економічні явища залежать від великої кількості факторів. Тому на практиці часто використовують рівняння множинної|факторів| регресії, коли на величину результативної ознаки впливають два і більш ф
Ндекси середніх величин
Поряд зі зведеними, агрегатними індексами в статистичній практиці широко використовують індекси середніх величин (індекси середньої заробітної плати, середньої собівартості одиниці продукції тощо).
Суть і складові елементи динамічного ряду
Суспільні явища безперервно змінюються. Аналіз соціально-економічного розвитку — одне з важливих завдань статистики. Інформаційною базою його слугують динамічні (часові, хронологічні) ряди.
Характеристики інтенсивності динаміки
Швидкість та інтенсивність розвитку різних суспільних явищ значно варіюють, що позначається на структурі відповідних динамічних рядів. Для оцінювання зазначених властивостей динаміки статистика вик
Середня абсолютна та відносна швидкість розвитку
З плином часу варіюють рівні динамічних рядів та обчислені на їх основі абсолютні прирости та темпи зростання. Постає потреба узагальнення притаманних динамічному ряду властивостей, визначення типо
Характеристика основної тенденції розвитку
Будь-який динамічний ряд у межах періоду з більш-менш стабільними умовами розвитку виявляє певну закономірність зміни рівнів — загальну тенденцію. Одним рядам притаманна тен
Оцінка коливань та сталості динаміки
Фактичні рівні динамічних рядів під впливом різного роду чинників варіюють, відхиляючись від основної тенденції розвитку. В одних рядах коливання мають систематичний, закономірний характер, повторю
Статистичні таблиці.
Статистичними таблицями вважають тільки такі, які містять результати аналізу соціально-економічних явищ та процесів (на відміну від допоміжних розрахункових таблиць, таких як логарифмічні).
Основні елементи статистичних графіків.
Статистичний графік –це спосіб наочного подання і викладення статистичних даних за допомогою геометричних знаків та інших графічних засобів з метою їх узагальнення й аналізу.
Класифікація графіків.
Грфіки, які використовують для зображення статистичних даних, дуже різноманітні. За загальним призначенням графіки поділяють на аналітичні, ілюстративні й інформаційні. За функціонально-цільовим пр
ЛІТЕРАТУРА
1. Статистика: Підручник / А.В.Головач, А.М.Єріна та ін.; 3а ред. А.В.Головача. - К.: Вища шк., 1993. - 623 с.
2. Статистика: Підручник/С. С. Герасименко, А. В. Головач,
СТАТИСТИКА
для студентів всіх форм навчання
Галузь знань: 0305 Економіка та підприємництво
Напрям(и) підготовки: 6.030504 Економіка підприємства, 6.030507 Маркетинг
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
= 12; 
= 224; 
= 342,8; 
= 18,68;
224 = 8b0 + 12b1
,
можна подати як наступні дві складові:
.
є наслідком дії фактора х, відхилення 
— наслідком дії інших факторів.
,
— загальна дисперсія ознаки y;
- факторна дисперсія;
- залишкова дисперсія
буде тим більшим, чим сильніший вплив фактора х на y. Відношення факторної дисперсії до загальної розглядається як міра щільності кореляційного зв’язку і називається коефіцієнтом детермінації (аналогічний кореляційному відношенню):
.
=0 кореляційний зв'язок між у|в| та х відсутній. При 
=1 зв'язок між ознаками є|з'являється| функціональним (оскільки|тому що| залишкова дисперсія дорівнює нулю).
.
- коваріація| х по у|в|.
- відповідно середнє значення у|в| й х за фактичними даними (даними вибірки)
- коефіцієнт кореляції у|в| по х
- коефіцієнт рівняння регресії.
= m - 1; 
= n - m
= 2 -1 = 1.
. Якщо фактичне значення 
- варіація факторної ознаки,
- залишкова дисперсія,
- число ступенів свободи,
, де t - коефіцієнт довіри|довір'я|.) 
тобто 
. Якщо розраховане значення перевищує критичне для двостороннього t-критерію, то гіпотеза про випадковий характер коефіцієнта регресії відхиляється, а отже, з визначеною імовірністю вплив факторної ознака на результативну визнається істотним.
.
Новости и инфо для студентов