Середня арифметична. - раздел Математика, КУРС ЛЕКЦІЙ СТАТИСТИКА Оскільки Для Більшості Соціально-Економічних Явищ Характерна Адитивність Обся...
Оскільки для більшості соціально-економічних явищ характерна адитивність обсягів (виробництво цукру, витрати палива тощо), то найпоширенішою є арифметична середня, яка обчислюється діленням загального обсягу значень ознаки на обсяг сукупності.
За первинними, незгрупованими даними обчислюється середня арифметична проста:
де xi – індивідуальні значення ознаки (варіанти,)
n– число варіант (обсяг сукупності).
За цією ж формулою обчислюються середні у динамічному ряду.
Якщо в січні фірма продала 315 одиниць продукції , у лютому — 305 од., а в березні — 340 од., то середньомісячний продаж продукції: (315 + 305 + 340) : 3 = 320 одиниць.
Моментні показники замінюються середніми як півсума значень на початок і кінець періоду. Якщо моментів більш ніж два, а інтервали часу між ними рівні, то в чисельнику до півсуми крайніх значень додають усі проміжні, а знаменником є число інтервалів, яке на одиницю менше від числа значень ознаки. Таку формулу називають середньою хронологічною:
Наприклад, на фірмі залишки обігових коштів на початок кожного місяця І кварталу становили, млн грн.: січень — 70, лютий — 82, березень — 77, квітень — 80. Середньомісячний залишок обігових коштів, млн грн.:
У великих за обсягом сукупностях окремі значення ознаки (варіанти) можуть повторюватись. У такому разі обсяг значень ознаки можна визначити як 
(де fi–частота варіант, причому f1+f2+…fk = n). Такий процес множення у статистиці називають зважування. Вагами можуть бути частоти або частки (відносні величини структури), іноді інші величини.
Значення ознаки осереднюються за формулою середньої арифметичної зваженої:
При розрахунку середньої за інтервальним рядом розподілу в якості варіант використовують середнє значення інтервалу як напівсуму його граничних значень. Ширину відкритого інтервалу умовно приймають такою ж, як і в сусідньому закритому інтервалі.
Функціонально середня зважена більш навантажена ніж проста середня, оскільки враховує повторюваність кожної варіанти і певною мірою відображує склад сукупності. Значення середньої зваженої залежить не лише від значень варіант, а й від структури сукупності. Чим більшу вагу мають малі значення ознаки, тим менша середня, і навпаки.
У структурованій сукупності при розрахунку середньої зваженої варіантами можуть бути як окремі значення ознаки, так і групові середні 
, кожна з яких має відповідну вагу у вигляді групових частот fj. Таку середню називають загальною середньою.
де m- кількість груп
Для альтернативної ознаки, яка приймає взаємо виключені значення 1 або 0, середня величина є часткою елементів сукупності d1 з ознакою, що цікавить дослідника:
Наприклад, з 230 працівників 46 мають намір змінити професію. В цьому випадку d1 = 46:230 = 0,20, тобто середній рівень потенційної професійної мобільності працівників складає 20%.
Для ознак порядкової (рангової) шкали використовуються різні варіанти оцифрування. Так, окремим пунктам 3-бальної шкали можна надати значень 1, 2, 3 або –1, 0, 1. Очевидно, що розраховані для цих варіант оцифрування середні бали будуть відрізнятися. Тому для ознак такої шкали звичайно розраховується нормований середній бал, який відображує рівень підтримки по питанню, що досліджується. Спочатку ранжують значення ознаки в порядку зростання якості (починаючи з 1), а далі розраховують нормований бал за формулою
Тобто
Приклад. Обчислити середню арифметичну розподілу підприємств за обсягом випуску продукції за даними таблиці 4.2
Таблиця 4.2 - Розподіл підприємств за обсягом випуску продукції
| Обсяг випуску
продукції, тис. од.
| Середина інтервалу,
хi
| Кіль-кість підпри-
ємств,
fі
| хі-х0
(х0= =16,55)
| 
(к = 0,3)
| 
|
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
|
| 14,3-14,6
| 14,45
| 1
| -2,1
| -7
| -7
|
| 14,6-14,9
| 14,75
| 2
| -1,8
| -6
| -12
|
| 14,9-15,2
| 15,05
| 8
| -1,5
| -5
| -40
|
| 15,2-15,5
| 15,35
| 26
| -1,2
| -4
| -104
|
| 15,5-15,8
| 15,65
| 65
| -0,9
| -3
| -195
|
| 15,8-16,1
| 15,95
| 120
| -0,6
| -2
| -240
|
| 16,1-16,4
| 16,25
| 181
| -0,3
| -1
| -181
|
| 16,4-16,7
| 16,55
| 201
| 0
| 0
| 0
|
| 16,7-17,0
| 16,85
| 170
| 0,3
| 1
| 170
|
| 17,0-17,3
| 17,15
| 120
| 0,6
| 2
| 240
|
| 17,3-17,6
| 17,45
| 64
| 0,9
| 3
| 192
|
| 17,6-17,9
| 17,75
| 28
| 1,2
| 4
| 112
|
| 17,9-18,2
| 18,05
| 10
| 1,5
| 5
| 50
|
| 18,2-18,5
| 18,35
| 3
| 1,8
| 6
| 18
|
| 18,5-18,8
| 18,65
| 1
| 2,1
| 7
| 7
|
| Разом
|
| 1000
|
| 10
|
Все темы данного раздела:
СТАТИСТИКА
для студентів всіх форм навчання
Галузь знань: 0305 Економіка та підприємництво
Напрям(и) підготовки: 6.030504 Економіка підприємства, 6.030507 Маркетинг
СТАТИСТИКА
для студентів всіх форм навчання
Галузь знань: 0305 Економіка та підприємництво
Напрям(и) підготовки: 6.030504 Економіка підприємства, 6.030507 Маркетинг
Предмет статистики.
Слово «статистика» (вiд лат. status — стан речей) означає кількісний облік масових, насамперед соціально-економічних, явищ і процесів. Статистикою називають
Основні категорії статистики.
Основними поняттями (категоріями) в статистиці є поняття статистичної закономірності й статистичної сукупності.
Закономірність — це повторюваність, послідовність і пор
Статистична методологія
Статистична методологія — це комплекс спеціальних, притаманних лише статистиці методів і прийомів дослідження. Вона ґрунтується на загальнофілософських (діалектична логіка) і з
Суть й організаційні форми статистичного спостереження.
Проблема інформаційного забезпечення є першочерговою для будь-якої сфери діяльності. Інформаційне забезпечення — це сукупність відомостей про явища та процеси суспільного жи
Види та способи спостережень.
Класифікуючи статистичні спостереження, визначають їх вид і спосіб реєстрації даних.
Види спостереження розрізняють за двома критеріями: ступенем охоплення одиниць і часом
Питання
Помилки спостереження й контроль достовірності даних.
Точність та достовірність даних є найважливішою вимогою статистики. Контроль даних спостереження водночас є методологічним і організаційним питанням. Якщо його розглядати як засіб попере
Суть статистичного зведення.
Зареєстровані у процесі статистичного спостереження значення ознак відбивають увесь діапазон варіації, яка об’єктивно існує в сукупності. При цьому у поодиноких відомостях губиться загальне, законо
Класифікації та групування.
Групування полягає в розділенні сукупності на групи по істотним для них ознаках.
Традиційно цей поділ виконують за такою схемою: із множини ознак, які описують явище,
Основні питання методології групувань.
Як відомо, при проведенні групування ознаки можуть бути атрибутивними або кількісними. Для атрибутивної ознаки число груп відповідає числу їх різновидів.
Наприклад, при розподілі населе
Суть і види статистичних показників.
Статистичний показник — це міра, тобто єдність якісного і кількісного відображення певної властивості соціально-економічного явища чи процесу.
Якісний зміст показника
Абсолютні величини.
Абсолютні величини характеризують розміри соціально-економічних явищ. Ідеться про обсяги сукупності чи окремих її частин (кількість елементів) та відповідні їм обсяги значень ознаки. Так, на товар
Відносні величини.
Поглиблений соціально-економічний аналіз фактів потребує різного роду порівнянь. Результатом порівняння є відносна статистична величина, яка характеризує міру кількісного сп
Середні величини.
Середня величина є узагальнюючою мірою ознаки, що варіює, у статистичній сукупності. Показник у формі середньої характеризує рівень ознаки в розрахунку на одиницю сукупності. В
Середня гармонічна та деякі особливості обчислення середніх величин.
При розрахунку середньої з обернених показників використовують середню гармонічну.
Припустимо, що кожний з трьох робітників за годину виготовив 2, 3 та 4 деталі (прямий показник). Тоді вит
Більш широко використовується середня гармонічна зважена
, z = x f (4.1)
Середня геометрична
Якщо визначальна властивість сукупності формується як добуток індивідуальних значень ознаки, використовується середня геометрична:
Система економічних показників.
Будь-який показник відтворює лише одну грань процеса або явища. Комплексна характеристика соціально-економічних явищ передбачає використовування системи показників. Кожний показник системи має само
Закономірність розподілу
Статистична сукупність формується під впливом різних причин та умов: з одного боку — типових, спільних для всіх елементів сукупності, а з іншого — випадкових, індивідуальних. Ці чинники взаємозв’яз
Характеристики центра розподілу
Центром тяжіння будь-якої статистичної сукупності є типовий рівень ознаки, узагальнююча характеристика всього розмаїття її індивідуальних значень. Такою характеристикою є середня величин
Таблиця 5.2 - Розподіл проданого взуття за розмірами
Розмір взуття
22,0
22,5
23,0
23,5
24,0
24,5
25 і більш
Разом
Таблиця 5.3- Розподіл працівників цеху за стажем роботи
Стаж, років
Чисельність працівників
Кумулятивні частоти
До 3-х
3 - 6
Характеристики варіації
В одних сукупностях індивідуальні значення ознаки щільно групуються навколо центра розподілу, в інших — значно відхиляються. Чим менші відхилення, тим однорідніша сукупність, а отже, тим більш наді
Види та взаємозв’язок дисперсій
Дисперсія, або середній квадрат відхилення s2 посідає особливе місце у статистичному аналізі соціально-економічних явищ. Вона є невіддільним і важливим елементом
Тоді середнє квадратичне відхилення
Таблиця 5.5 - Розподіл підприємств за обсягом
Криві розподілу. Перевірка статистичних гіпотез про відповідність емпіричного та теоретичного розподілів.
Аналіз закономірностей розподілу можна поглибити, якщо описати його певною функцією, яка називається теоретичною кривою. Теоретична крива описує закономірність співвідношенн
Таблиця 5.7- Розрахунок критерію
Номер групи
Частота
Відхилення
f - f'
(f - f')2
Аналіз концентрації розподілів.
Дуже важливими у статистичному аналізі є характеристика нерівномірності розподілу певної ознаки між окремими складовими сукупності, а також оцінка концентрації значень ознаки в окремих її частинах
Аналіз диференціації та подібності розподілів.
За аналогією з коефіцієнтом концентрації обчислюється коефіцієнт подібності (схожості) структур двох сукупностей:
Суть вибіркового спостереження.
Вибіркове спостереження— такий вид несуцільного спостереження, при якому обстежуються не всі елементи сукупності, що вивчається, а лише певним чином дібрана їх частина. Сукупні
Оцінка генеральної дисперсії по виправленій вибірковій.
Нехай вимагається за даними вибірки оцінити невідому генеральну дисперсію . Відомо, що вибіркова дисперс
Вибіркові оцінки середньої та частки. Довірчий інтервал
У статистиці використовують два типи оцінок параметрів генеральної сукупності — точкові та інтервальні.
Точкова оцінка — це значення параметра за даними вибірки: вибір
Різновиди вибірок.
Формування вибірки виконується за певними правилами. Передусім визначається основа вибірки. У сукупностях, які складаються з «фізичних» елементів, одиниця основи може репрезентувати або окремий еле
При бесповторному відборі помилка розраховується за формулою
(7.4)
де D=
Визначення обсягу вибірки та способи поширення вибіркових даних
У процесі проектування вибіркових спостережень визначають мінімально достатній обсягвибірки, при якому вибіркові оцінки репрезентували б основні властивості генеральної суку
При вивченні альтернативної ознаки (частки р) обсяг вибірки визначається як
(7.8)
Визначення обсягу вибірки передбачає своєчасне обгрунтовування допустимог
При вивченні альтернативної ознаки (частки р) обсяг вибірки визначається як
(7.8)
Визначення обсягу вибірки передбачає своєчасне обгрунтовування допустимог
Метод аналітичних групувань
Метод аналітичних угрупувань полягає в тому, що всі елементи сукупності групують за факторною ознакою х і в кожній групі обчислюють середні значення результативної ознаки у, тобто лін
Регресійний аналіз
В регресійному аналізі оцінюється теоретична лінія регресії.
Теоретична лінія регресії описується певною функцією
Таблиця 8.6 – До розрахунку параметрів лінійної регресії
Номер підприємства
Обсяг виробництва, млн. од., х,
Валові витрати у, млн.грош.од.
ху
х2
Множинна регресія.
Економічні явища залежать від великої кількості факторів. Тому на практиці часто використовують рівняння множинної|факторів| регресії, коли на величину результативної ознаки впливають два і більш ф
Таблиця 8.8 – Критичні значення коефіцієнту рангової кореляції Спірмена при α=0,05
Обсяг вибірки n
5
6
7
8
9
10
Ндекс є співвідношенням двох значень показника, який індексується: оціночного (поточного) і взятого за базу порівняння.
Тобто за статистичною природою індекс — це відносна величина, яка характеризує зміну соціально-економічного явища в часі чи просторі або ступінь відхилення значення показника від певного стандарту
Методологічні основи побудови зведених індексів. Агрегатні індекси.
Зведений індекс характеризує зміну складних явищ під впливом різних чинників|факторів| (співмножників). Він показує, як у середньому змінився показник по сукупності елементів. Наприклад, зміни зага
Середньозважені індекси. Індекси із|із| змінними й постійними вагами
В окремих випадках вихідні|вихідні| дані не дозволяють вивчити динаміку економічного явища на основі агрегатної форми індексу. Другою формою зведеного індексу є середньозважений з індивідуальних ін
Системи взаємозалежних індексів й визначення впливу окремих чинників|факторів|.
Індексний метод дозволяє оцінити вплив зміни окремих чинників|факторів| на зміну результативного показника при мультиплікативній формі зв'язку, причому оцінку можна здійснити як у відносному, так й
Ндекси середніх величин
Поряд зі зведеними, агрегатними індексами в статистичній практиці широко використовують індекси середніх величин (індекси середньої заробітної плати, середньої собівартості одиниці продукції тощо).
Суть і складові елементи динамічного ряду
Суспільні явища безперервно змінюються. Аналіз соціально-економічного розвитку — одне з важливих завдань статистики. Інформаційною базою його слугують динамічні (часові, хронологічні) ряди.
Характеристики інтенсивності динаміки
Швидкість та інтенсивність розвитку різних суспільних явищ значно варіюють, що позначається на структурі відповідних динамічних рядів. Для оцінювання зазначених властивостей динаміки статистика вик
Середня абсолютна та відносна швидкість розвитку
З плином часу варіюють рівні динамічних рядів та обчислені на їх основі абсолютні прирости та темпи зростання. Постає потреба узагальнення притаманних динамічному ряду властивостей, визначення типо
Характеристика основної тенденції розвитку
Будь-який динамічний ряд у межах періоду з більш-менш стабільними умовами розвитку виявляє певну закономірність зміни рівнів — загальну тенденцію. Одним рядам притаманна тен
Оцінка коливань та сталості динаміки
Фактичні рівні динамічних рядів під впливом різного роду чинників варіюють, відхиляючись від основної тенденції розвитку. В одних рядах коливання мають систематичний, закономірний характер, повторю
Статистичні таблиці.
Статистичними таблицями вважають тільки такі, які містять результати аналізу соціально-економічних явищ та процесів (на відміну від допоміжних розрахункових таблиць, таких як логарифмічні).
Основні елементи статистичних графіків.
Статистичний графік –це спосіб наочного подання і викладення статистичних даних за допомогою геометричних знаків та інших графічних засобів з метою їх узагальнення й аналізу.
Класифікація графіків.
Грфіки, які використовують для зображення статистичних даних, дуже різноманітні. За загальним призначенням графіки поділяють на аналітичні, ілюстративні й інформаційні. За функціонально-цільовим пр
ЛІТЕРАТУРА
1. Статистика: Підручник / А.В.Головач, А.М.Єріна та ін.; 3а ред. А.В.Головача. - К.: Вища шк., 1993. - 623 с.
2. Статистика: Підручник/С. С. Герасименко, А. В. Головач,
Критичні значення коефіцієнтів асиметрії та ексцесу
Обсяг вибірки
Асиметрії при
Ексцесу при
Критичні значення кореляційного відношення й коефіцієнту детермінації R2.
а) Рівень істотності
k2 k1
Критичні значення F-критерію.
k1
k2
Квантилі t - розподілу Стьюдента. Критичні точки розподілу Стьюдента
Число
степеней
свободы k
Уровень значимости(двусторонняя критичес
Додаток 7
Таблиця значень функції
S(t) в розподілі Стьюдента
t n
6—7
8-10
11—15
16-25
25—30
Додаток 12
Функція нормального розподілу
СТАТИСТИКА
для студентів всіх форм навчання
Галузь знань: 0305 Економіка та підприємництво
Напрям(и) підготовки: 6.030504 Економіка підприємства, 6.030507 Маркетинг
Новости и инфо для студентов