Реферат Курсовая Конспект
Погрешность решения и обусловленность системы уравнений - раздел Математика, Вычислительные методы линейной алгебры Рассмотрим Влияние Погрешности Правой Части И Свойств Матрицы Системы Линейны...
|
Рассмотрим влияние погрешности правой части и свойств матрицы системы линейных уравнений на погрешность решения. Пусть правая часть системы задана приближенно, с погрешностью η:
Ax = b1, b1 = b + η.
Пусть x1 решение неточно заданной системы Ax = b1, а x решение точной системы Ax = b. Обозначим погрешность решения через r = x1 – x. Тогда можно записать Ax1 = b1 в виде A(x + r) = b + η, и Ar = η.
Определение 3.3.Мерой обусловленности системы называется число
(3.29)
Мера обусловленности системы равна верхней грани отношения относительной погрешности решения к относительной погрешности правой части. Из формулы (3.29) следует неравенство
(3.30)
Если мера обусловленности системы принимает большое значение, то это означает, что небольшая погрешность правой части может привести к большой погрешности решения, т.е. полученное приближенное решение окажется непригодным.
Учитывая, что r = A–1η, можно получить формулу вычисления меры обусловленности системы:
(3.31)
Определение 3.4. Мерой обусловленности матрицы A называется число
(3.32)
Для вычисления меры обусловленности матрицы можно с помощью (3.31) получить формулу
(3.33)
Учитывая (3.30), можно записать
(3.34)
Неравенство (3.34) связывает относительные погрешности правой части и решения системы через свойства матрицы системы.
Определение 3.5. Системы уравнений и матрицы называются плохо обусловленными, если их меры обусловленности принимают большие значения, и хорошо обусловленными, если их меры обусловленности принимают малые значения.
Понятно, что при решении хорошо обусловленных систем малые погрешности правой части приводят к малым погрешностям решения, а плохо обусловленные системы уже нельзя решать обычными методами.
Пример 3.7.Для данной системы линейных уравнений исследовать влияние погрешности правой части на погрешность решения.
Решение. Решение системы x = (0,5; 0,2; –1; 0)T можно найти в программе Mathcad по формуле x = A–1∙b, где A — матрица коэффициентов, а b — вектор правых частей:
Если мы изменим правые части на 0,01 (прибавим к каждой координате вектора b число 0,01), то получим приближенное решение x1 = (0,342; 0,634; –1,9; 0,667)T, которое отличается от точного решения на вектор x1 – x =
(–0,158; 0,434; –0,9; 0,667)T:
Мы видим, что незначительные погрешности правой части приводят к решению, которое сильно отличается от точного. Это объясняется плохой обусловленностью матрицы системы. Действительно, если мы вычислим число обусловленности матрицы A по формуле (3.33), пользуясь определением нормы (3.19), используя функцию программы Mathcad eigenvals(AT∙A), получим:
Отсюда получим значение числа обусловленности матрицы A:
||A|| = 322,2650,5 = 17,95, ||A –1|| = 367200,5 = 191,62, τ = ||A||∙||A –1|| = 3439,7.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Вычислительные методы линейной алгебры изучают численные методы решения следующих задач... Решить систему линейных алгебраических уравнений СЛАУ... Вычислить определитель квадратной матрицы A...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Погрешность решения и обусловленность системы уравнений
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов