Метод прямокутників. - раздел Математика, ТЕМА 1: НАБЛИЖЕНИЙ РОЗВ’ЯЗОК АЛГЕБРАЇЧНИХ ТА ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ Метод Прямокутників — Найпростіший Метод Чисельного Інтегрування, Що П...
Метод прямокутників — найпростіший метод чисельного інтегрування, що полягає у заміні значень функції на проміжку значенням функції в деякій точці проміжку.
Види формули прямокутників:
1.1. Формула лівих прямокутників
В даному випадку береться значення функції на початку проміжку:
Похибка обчислення рівна:
1.2. Формула правих прямокутників
В даному випадку береться значення функції в кінці проміжку:
Як і впопередньому випадку похибка обчислень рівна:
1.3. Формула центральних прямокутників
Дана формула має вид:
Похибка обчислень рівна:
1.4. Великі формули прямокутників
Для збільшення точності обчислень проміжок інтегрування розбивається на дрібніші проміжки до кожного з яких застосовується формула прямокутників. Загалом кількість проміжків розбиття рівна n і Δ = (b − a) / n то велика формула прямокутників має вигляд:
де i' може бути рівним i − 1, i чи i − 1 / 2, що відповідає формулам лівих, правих і центральних прямокутників.
Рис. 13. Метод лівих Рис. 14. Метод центральних Рис. 15. Метод правих
прямокутників прямокутників прямокутників
Похибка великої формули центральних прямокутників задовольняє нерівність:
1. 2. Метод трапецій
Рис. 16. Функція f(x) (синій колір) апроксимується
лінійною функцією (червоний колір).
Метод трапецій є методом наближеного обчислення значення визначеного інтегралу.
Ідея методу трапецій полягає в наближенні області під графіком функції f(x) трапецією та обчисленні її площі. Якщо застосувати цю ідею безпосередньо до інтервалу [a,b], то отримаємо
(39)
але це незадовільно з приводу великої похибки.
Для точнішого обчислення значення інтегралу, слід попередньо розбити інтервал інтегрування [a,b] на n підінтервалів та застосувати формулу (39) до кожного із них. Таким чином, отримуємо:
де Δxi = xi − xi − 1,x0 = a,xn = b.
У методі трапецій переважно застосується розбиття інтервалу інтегрування на n рівні відрізків довжиною h = Δx = (b − a) / n. Тоді попередня формула перетворюється на таку:
(40)
і похибка, так званий залишковий член E(f) не перевищує за де — це максимум другої похідної функції f(x) на всьому інтервалі. Відзначимо, що за збільшення числа n інтервалів розбиття, залишковий член зменшується як O(1 / n2).
1. 3. Метод парабол (Сімпсона)
Метод Сімпсона є одним із методів чисельного інтегрування, названий на честь британського математика Томаса Симпсона (1710—1761)
Формулою Сімпсона називається інтеграл від інтерполяційного многочлена другого степеня на відрізку [a,b]:
(41)
де f(a), f((a + b) / 2) і f(b) — значення функції у відповідних точках .
При умові, що функція f(x) на відрізку [a,b] має похідну четвертого порядку, похибка E(f), дорівнює:
Зважаючи, що значення ζ переважно не є відомим, для оцінки похибки використовується нерівність:
Для точнішого обчислення інтеграла проміжок [a,b] розбивається на N відрізків однакової довжини і застосовується формула Сімпсона на кожному з них. Значення інтеграла є сумою для всіх відрізків.
(42)
де величина кроку, а межі відрізків.
Загальна похибка E(f) при інтегруванні на відрізку [a,b] з кроком xi − xi − 1 = h визначається за формулою:
.
При неможливості оцінити похибку за допомогою четвертої похідної можна використати слабшу оцінку:
План... Теоретична частина... Загальні правила обрахункової роботи Поняття абсолютної та відносної похибки...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Метод прямокутників.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Загальні правила обрахункової роботи.
За умови виконання великої кількості обчислень необхідно притримуватися певного набору правил та обмежень, котрі значно підвищать ефективність та дозволять раціонально використовувати наявні ресурс
Поняття абсолютної та відносної похибки
Абсолютна похибка - це різниця між відповідним точним значенням розглянутої величини А і наближеним її значенням а. Похибка
Метод половинного ділення
Нехай дано рівняння f(x)=0 де f(x) неперервна на [a, b] і f(a)*f(b)<0. Для знаходження кореня рівняння f(x) =0 на [а; b], ділимо [а; b] навпіл.
Якщо f(
Метод хорд
Рівняння прямої, яка прохо-дить через точки M’[a,f(a)] і M[b,f(b)]:
Метод дотичних (метод Ньютона)
Геометричний зміст методу дотичних полягає в тому, що дуга кривої y = f (x) замінюється дотичною до цієї кривої, проведеною до одного з кінців відрізка [a, b]. Наближене значення кореня знаходять
Комбінований метод хорд і дотичних
Комбінуючи вище розглянуті методи, отримують новий метод знаходження дійсних коренів рівняння f (х) = 0, перевагою якого є те, що послідовні наближення лежать по різні боки від шуканого кореня, і
Метод половинного ділення
Алгоритм методу половинного ділення.
1. Ввести, задати значення параметрів а, b та граничної абсолютної похибки e .
2. Обчислити значення функції f (x)
Метод хорд
Приклад 4. Знайти додатній корінь рівняння х3 – 2х2 +3х –5 = 0.
Визначаємо знаки функцій в різних точках
Метод дотичних (метод Ньютона)
Метод Ньютона ефективний для розв’язування тих рівнянь, для яких значення модуля і похідної | f’(x)| біля кореня достатньо велике, тобто графік функції f(x) в околі дано
Комбінований метод хорд і дотичних
Приклад 6. Обчислити з точністю до 0,0005 корінь рівняння х5 – х – 0,2 = 0, який знаходиться на відрізку [1; 1,1].
НДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 1
1) Відокремити корені аналітично.
2) Відокремити корені аналітично і уточнити один з них методом проб з точністю до 0,01.
3) Відокремити корені графічно.
4) Відокремити к
НДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 2
1) Методом половинного ділення знайти розв’язок рівняння з точністю 0,05.
2) Використовуючи метод хорд знайти додатній корінь рівняння.
3) Знайти корінь рівняння використовуючи ме
Постановка задачі
У процесі вивчення різних питань економіки, природознавства, техніки тощо доводиться розв’язувати системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Зокрема, до таких систем зводиться чисельне розв’язування
Формули Крамера
Розглянемо систему лінійних рівнянь (8). Ввівши позначення
,
Метод Гауса
Метод Гауса (або метод послідовного виключення невідомих) застосовний для розв’язання систем лінійних рівнянь, в яких число невідомих може бути або рівно числу рівнянь, або відмінно від нього.
Метод Крамера
Приклад 1.Розв’язати систему рівнянь за формулами Крамера.
Метод Гауса
Приклад 2. Знайдемо розв’язок системи рівнянь методом Гауса:
Основні поняття
Нехай величина "y" є функцією аргумента "х", тобто будь−якому значенню "х" з області визначення поставлено у відповідність значення "
Нтерполяція
Під апроксимацією розуміють операцію знаходження невідомих чисельних значень якоїсь величини за відомими її значеннями і чисельними значеннями інших величин, які пов’язані з розглядуваною.
Нтерполяційний поліном Ньютона.
Розглянемо форму запису інтерполяційного полінома Рn(х), яка допускає уточнення результатів інтерполяції послідовним додаванням нових вузлів. При цьому будем використовуват
Метод найменших квадратів.
Приклад 1. Запишіть рівняння регресії для дослідних даних попиту та пропозиції методом найменших квадратів. Визначте рівноважну ціну та кількість.
НДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 4
1) Запишіть рівняння регресії для дослідних даних попиту та пропозиції методом найменших квадратів. Визначте рівноважну ціну та кількість.
Варіант
Да
Перша інтерполяційна формула Ньютона.
Для практичного використання інтерполяційну формулу Ньютона (30) звичайно записують у іншому вигляді. Для цього введемо нову змінну q:
Друга інтерполяційна формула Ньютона
Перша інтерполяційна формула Ньютона незручна для інтерполяції функції поблизу кінця таблиці. У цьому випадку використовується друга інтерполяційна формула Ньютона. Знайдемо цю формулу.
Приклад 1.
Дано значення функції y=-sin x від x=15o до x= 55o з h=5o . Знайти sin 14o і sin 56o.
Ро
НДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 5
1) Використовуючи першу або другу інтерполяційну формулу Ньютона, обчислити значення функції при заданих значеннях аргументу.
Варіант
Метод Ейлера
Рис. 9. Ілюстрація методу Ейлера.
В чисельних методах методом Ейле
Метод Рунге-Кутта другого порядку.
Для зменшення похибки методу інтегрування звичайних диференційних рівнянь, що використовує розкладання шуканого рішення в ряд Тейлора
Метод Ейлера
Приклад 1. Розв’язати методом Ейлера рівняння вигляду. Початкові умови :
НДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ № 6
1) Розв’язати методом Ейлера диференціальне рівняння вигладу.
2) Проінтегрувати методом Рунге-Кутта диференціальне рівняння.
Варіант
Рівнянн
Метод прямокутників.
Приклад 1. Обчислити інтеграл за формулами лівих i правих та середній
Метод трапецій
Приклад 2. Обчислитиінтеграл методом трапецій за п=10;
Метод Сімпсона
Приклад 3. Обчислитиінтеграл методом Сімпсона за п=8.
НДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ №7
1) Обчислити інтеграл за формулою лівих, правих та середній прямокутників.
2) Обчислити інтеграл методом трапецій за n=10;
3) Обчислити інтеграл методом Сімпсона за n=8.
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
(39)
та застосувати формулу (39) до кожного із них. Таким чином, отримуємо:
(40)
де 
— це максимум другої похідної функції f(x) на всьому інтервалі. Відзначимо, що за збільшення числа n інтервалів розбиття, залишковий член зменшується як O(1 / n2).
(41)
(42)
величина кроку, а 
межі відрізків.
.
.
Новости и инфо для студентов