Обратно-степенное распределение

Обратно-степенное распределение. Экспериментальные наблюдения за атмосферными аэрозолями позволили сформулировать ряд эмпирических закономерностей, описывающих их распределение. В работах Юнга Junge, выполненных в конце 40-х - начале 50-х годов, было показано, что для атмосферных аэрозолей размером от десятых долей микрометра до нескольких десятков микрометров величина ?V ?ln r остается постоянной.

Это значит, что общий объем ?V, занимаемый частицами, с радиусами от 0,4 до 0,6мкм или от 0,6 до 0,9 мкм, от 1 до 1,5 мкм или от 4 до б мкм, примерно одинаков. Поскольку физический объем частицы радиусом 4-6 мкм в 103 раз больше объема частицы с радиусом 0,4-0,6мкм, постоянство ?V ?ln r требует, чтобы концентрация частиц большего радиуса была в 103 раз меньше. Хотя встречается большое число отклонений от данного правила, тем не менее, общепринято в настоящее время, что для природных аэрозолей, образовавшихся в основном в результате дезинтеграции земной поверхности, справедлива формула 1.9 Парциальный объем частиц, приходящихся на единичный интервал радиусов, пропорционален, таким образом, r-4. Более поздние исследования показали, что показатель степени при r может быть в общем случае как больше 3, так и меньше 3. Любое распределение, которое может быть линеаризовано в логарифмических координатах, описывается таким обратным степенным распределением , 1.10 либо , 1.11 где B const.

Распределения такого типа используют весьма широко, но ими также часто злоупотребляют.

Поэтому обсудим некоторые их достоинства и недостатки. Общее число частиц. Для его определения необходимо вычислить, который расходится при любых a. Если задать нижний предел как rmin трудности такого шага были обсуждены выше, то получим 1.12 Таким образом, общая концентрация определяется величиной rmin. Для a 3 рассчитанное общее число частиц возрастает в 8 раз при двукратном уменьшении rmin. Средний радиус.

Интеграл в этом случае также расходится, поэтому необходимо ввести rmin. Тогда получим 1.13 Если a 3, то средний радиус близок к rmin. Если a 1, то интеграл расходится и средний радиус неопределим. Общий объем частиц. Общий объем частиц задается величиной 1.14 которая не определена при a 3. Хотелось бы отметить, что именно a 3 было предсказано на основании постоянства ?V ?ln r. Если взять интеграл от rmin до rmax, то общий объем частиц составит . 1.15 Если a 3, то получим . 1.16 А если a 3, то . 1.17 Если rmin много меньше rmax, тогда из уравнения 16 следует, что объем пропорционален и весьма слабо зависит от rmin. Если a 3, то общий объем в основном определяется rmin. Следовательно, если состав систематически меняется с изменением размера, то в зависимости от тангенса угла наклона a средний состав аэрозоля будет меняться очень сильно.

Общая площадь.

В некоторых случаях эта характеристика очень важна. В зависимости от того, a 2 или a 2, доминируют большие или меньшие частицы. Коэффициент оптической экстинкции в грубом приближении пропорционален площади поверхности частицы вплоть до rmin ? 0.5 где длина волны. Состав частиц из оптических измерений будет определяться концом интервала радиусов для a ? 3 то есть оптическое поведение системы будет определяться размером в десятые доли мкм. Если a 2, то происходит сдвиг в сторону больших частиц. 1.6.2 Гамма-распределение.

Закон распределения имеет вид , 1.18 он обеспечивает экстремум функции распределения при rextr b-1 и убывание функции - медленное при уменьшении радиуса и экспоненциально быстрое при r rextr. Однако теоретическое исследования в области сухих аэрозолей и экспериментальные данные подтверждают, что при r rextr функция распределения также убывает по экспоненте. Лучшее приближение к экспериментальным данным можно получить, если в качестве аргумента взять обратный радиус или какую-либо другую отрицательную степень.

Такие распределения, известные как гамма - распределения, удобны для машинных расчетов, однако представляют всего лишь удобную аппроксимацию экспериментальных данных и не имеют под собой никакой теоретической основы. Можно легко получить выражение для определения первого момента гамма - распределения. Если принять, что , 1.19 то легко взять интеграл вида , 1.20 где Г - соответствующее значение функции 1.21 в точке. Это очень удобное свойство позволяет выбирать функцию таким образом, чтобы удовлетворить экспериментально найденным среднему значению, моде, ширине и кривизне, или любым трем моментам, выбрав соответствующим образом b и 1.6.3