Дискретная модель системы

Рассмотрим произвольную плоскую шарнирно-стержневую систему (ферму). Пусть нагрузка приложена в узлах фермы и имеет произвольное направление.

Дискретизация системы состоит в том, что неизвестные параметры, определяющие напряженно-деформированное состояние системы (усилия и перемещения), вычисляют в некоторых заранее выбранных сечениях стержней. Выберем сечения, непосредственно примыкающие к узлам фермы.

Примем в качестве неизвестных параметров перемещения узлов и продольные усилия в стержнях. Таких параметров достаточно, чтобы определить перемещения и усилия в любых сечениях, т.е. полностью определить напряженно-деформированное состояние фермы.

Расчленим ферму на отдельные узлы и элементы (стержни). Для расчлененной системы можно составить следующие уравнения:

1) уравнения равновесия узлов – это уравнения статики (уравнения равновесия стержней удовлетворяются при действии узловой нагрузки автоматически);

2) уравнения совместности перемещений деформированных стержней в узлах – геометрические уравнения;

3) физические уравнения – составляются для отдельных стержней и выражают соотношения между удлинениями стержней и действующими в них внутренними усилиями.

К рассмотренным уравнениям необходимо добавить кинематические граничные условия, задающие перемещения некоторых узлов фермы. Жесткие неподвижные опорные связи дают однородные граничные условия, заданные перемещения узлов – неоднородные граничные условия. Возможны смешанные граничные условия, связывающие перемещения опорных узлов с возникающими в них реакциями. Такие условия записывают, например, для упругих опор.

В зависимости от вида граничных условий и используемого алгоритма опорные реакции могут быть включены в число неизвестных искомых параметров или могут не включаться в число неизвестных.

В случае жестких опор статические граничные условия по направлениям опорных связей удовлетворятся автоматически, так как внутренние усилия стержней, соединенных с опорами, всегда уравновешиваются возникающими опорными реакциями.