Анализ уравнения равновесия узлов

Матрица А уравнения равновесия узлов фермы имеет n строк и m столбцов, причем n = 2У - С_оп, m = С, где У – количество узлов фермы (шарниров), С_оп – количество опорных связей, С – количество стержней. В силу независимости уравнений равновесия матрица А является матрицей полного ранга, т. е. rang(А) = min (m, n).

В зависимости от структуры фермы возможны следующие соотношения между величинами m и n.

1) Равенство n = m дает квадратную невырожденную матрицу А. Уравнение равновесия (1) в этом случае имеет единственное решение N = A^-1p. Внутренние усилия однозначно определяются через внешнюю нагрузку, причем уравнений равновесия достаточно для определения внутренних усилий. В этом случае имеем статически определимую систему. В таких системах невозможно осуществить самонапряженное состояние, так как при отсутствии нагрузки, т. е. при р = 0, получаем N = 0, что соответствует отсутствию внутренних усилий.

Равенство n = m эквивалентно равенству 2У - С - С_оп = 0, которое является необходимым условием статической определимости шарнирно-стержневых систем.

2) Соотношение n > m эквивалентно неравенству 2У - С - С_оп > 0 и соответствует геометрически изменяемым системам. Система уравнений равновесия (1) является в этом случае переопределенной – число уравнений превышает число неизвестных. При действии произвольной нагрузки такие системы не имеют решения, и состояние равновесия в фермах неосуществимо.

В рамках рассматриваемого соотношения возможны некоторые особые случаи. Первый случай связан с особым видом нагружения, при котором равновесие в геометрически изменяемой системе существует, и внутренние усилия можно определить из уравнения (1). Например, не составляет труда определить внутренние усилия в любом сечении стержня, не имеющего опорных связей, если к нему приложена система самоуравновешенных сил. Математически этот случай определяется условием совместности линейной алгебраической системы

rang(A) = rang(A,p), т.е. ранг матрицы А совпадает с рангом расширенной матрицы системы, получаемой присоединением к матрице А вектора правой части. Единственность решения достигается при выполнении условия rang(A) = m.

Второй особый случай отличается от первого тем, что rang(A)<m. В этом случае геометрически изменяемая система одновременно является статически неопределимой, уравнение (1) разрешимо относительно вектора N, но имеет бесконечное множество решений. Уравнений равновесия недостаточно для определения всех внутренних усилий. В этом случае имеем дело с мгновенно изменяемыми системами, сочетающими в себе статическую неопределимость и геометрическую изменяемость.

3) Неравенство n < m (причем rang(A) = n) соответствует геометрически неизменяемым и статически неопределимым системам. При любом векторе внешней нагрузки уравнение (1) имеет бесконечное множество решений, определяемых формулой

N = Vx + N₀,

в которой V - m´(m-n)-матрица фундаментальной системы решений однородного уравнения AN = 0, N₀ – частное решение уравнения (1). Вектор х порядка m-n является произвольным и отождествляется с усилиями в лишних связях статически неопределимой фермы.

Таким образом, степень статической неопределимости фермы равна m - n = С + С_оп - 2У.

При отсутствии внешней нагрузки частное решение N₀ = 0, но вектор N может быть ненулевым при х ¹ 0. Этим самым подтверждается возможность существования самонапряженных состояний в статически неопределимых системах.

Структуру матрицы V и вектора N₀ рассмотрим в дальнейшем при изучении метода сил.