Физические уравнения

 

Физические уравнения для шарнирно-стержневой системы устанавливают взаимосвязь между удлинениями стержней и внутренними усилиями. Для линейно упругого материала физические уравнения имеют форму линейных алгебраических уравнений и основываются на законе Гука s = Еe, где s - нормальное напряжение при одноосном растяжении (сжатии), Е - модуль Юнга, e - относительная линейная деформация. Умножая записанное равенство на площадь F поперечного сечения стержня и учитывая, что e = , получаем:

, (5)

где константу k можно назвать коэффициентом жесткости стержня.

Запишем уравнение (5) для каждого стержня:

 

N₁ = k₁ D₁, N₂ = k₂ D₂, …, N_m = k_m D_m.

 

Объединение m равенств в одно векторное уравнение дает физическое уравнение

N =d, (6)

в котором матрица называется матрицей «внутренней» жесткости системы; она имеет диагональный вид:

, (i = 1, 2, …, m). (7)

Уравнение (6) может быть записано в обратной форме d =N,

где матрица обратна матрице (=) и называется матрицей «внутренней» податливости системы:

. (8)

7 Полная система уравнений и методы её решения

Полная система уравнений состоит из уравнений равновесия узлов, геометрического и физического уравнений. Запишем физическое уравнение первым:

Объединим три уравнения в одно с вектором неизвестных [d,q,N]:

. (9)

Получили уравнение с симметричной матрицей порядка 2m + n. Порядок полной системы можно понизить, исключая вектор деформаций d из первого уравнения с помощью геометрического (третьего) уравнения. В результате получим систему с неизвестными векторами перемещений q и усилий N:

(10)

Матрица системы (10) имеет порядок m + n.

Формирование и решение систем (9) или (10) составляет суть смешанного метода. В этих системах в качестве неизвестных фигурируют векторы, имеющие различный физический смысл.

Исключение неизвестных можно продолжить. Если в качестве основных неизвестных принять вектор усилий N и из системы (10) исключить вектор перемещений q, то такой способ решения полной системы уравнений называется методом сил. Если же, наоборот, за вектор основных неизвестных принять вектор перемещений q, а из системы (10) исключить вектор усилий N, то такой способ решения полной системы называется методом перемещений.

Аналогами методов сил и перемещений в теории упругости являются решения задач в напряжениях и в перемещениях.

Наиболее просто получается разрешающее уравнение метода перемещений. Выразим вектор N из первого уравнения системы (10) и подставим его выражение во второе уравнение:

 

Kq = p. (11)

Матрица уравнения (11) является квадратной порядка n и определяется по формуле

. (12)

 

Матрицу К называют матрицей “внешней” жёсткости системы, или просто матрицей жёсткости системы (МЖС).

Следует особо отметить, что в случае геометрически изменяемых систем, а также систем с недостаточным числом опорных связей, ранг матрицы А меньше n, что приводит к вырожденности матрицы К и невозможности однозначного определения перемещений из уравнения (11). В дальнейшем будем считать, что такой ситуации не возникает. Решая уравнение (11), получаем вектор узловых перемещений q. Затем, используя геометрическое уравнение (3), находим вектор деформаций d и, наконец, с помощью физического уравнения (6) определяем вектор внутренних усилий N.

Уравнение (11) позволяет получить явную зависимость узловых перемещений от внешней нагрузки:

. (13)

 

Матрица D обратна матрице К (D = K^-1) и называется матрицей влияния перемещений; её также называют матрицей “внешней” податливости системы. Элемент матрицы D представляет собой перемещение узла системы по направлению q_i от единичной силы, приложенной в узле по направлению q_j .

С помощью уравнений (10) и (13) нетрудно получить явную зависимость внутренних усилий от внешней нагрузки:

 

.

Матрица называется матрицей влияния усилий.

Для статически определимых геометрически неизменяемых систем, для которых А является квадратной невырожденной матрицей, выражение для матрицы влияния усилий упрощается:

.

Опорные реакции определяются по уравнению (2) и могут быть выражены через нагрузку: r = RN = RZp.

Матрица Z_r = RZ называется матрицей влияния опорных реакций.