Уравнения равновесия узлов

Уравнения равновесия узлов составим по направлениям степеней свободы 1,2,…,n, т.е. получим всего n уравнений. По направлениям опорных связей уравнения равновесия превращаются в тождества, так как внутренние усилия в узле всегда уравновешиваются реакциями опор.

Рассмотрим некоторый элемент с узлами i, j . Пусть i < j. Назовем узел i начальным, узел j – конечным. Направим ось вдоль оси стержня от узла i к узлу j. Положение стержня определяется углом a, который отсчитывается от оси Х к оси . Угол aможет быть определен через координаты узлов i, j. Составим уравнения равновесия начального узла i:

Sх = N×cos a+ P_ix = 0,

Sy = N×sin a+ P_iy = 0.

Для конечного узла j имеем аналогичные уравнения:

Sх = - N×cos a+ P_jx = 0,

Sy = - N×sin a+ P_jy = 0.

Итак, если в некотором узле i сходятся несколько стержней, то уравнения равновесия этого узла имеют вид:

,

.

Знак обозначает суммирование по всем стержням , сходящимся в узле i. Параметр Sвычисляется по формуле

 

S=		-1, если i - начальный узел элемента ,
		+1, если i – конечный узел элемента .

 

Уравнения равновесия узлов по всем степеням свободы можно объединить в одно векторное уравнение равновесия

 

AN = p (1)

 

с n´m-матрицей А, состоящей из элементов ± cos a, ± sin a и нулей.

Матрицу А целесообразно формировать при помощи так называемой структурной матрицы S, состоящей из нулей и единиц. Число строк матрицы S равно числу узлов системы, число столбцов - числу стержней. Столбец с номером соответствует -му стержню, а элементы столбца определяются по формуле

			-1, если стержень имеет начальный узел r,
S=	1, если стержень имеет конечный узел r,
		0, если стержень не содержит узла r.

 

Матрица А получается из матрицы S заменой элементов Sблоками по правилу

1 , -1 , 0 .

В полученной таким образом матрице А^* следует вычеркнуть строки, соответствующие направлениям опорных связей, в результате вычеркивания получаем матрицу А.

Для иллюстрации изложенного алгоритма составим матрицу А уравнения (1) для фермы, изображенной на рис. 1. Матрица S имеет вид

		-1			-1
S =			-1	-1
						-1

 

Сделаем замену единиц и нулей блоками S, в результате получим матрицу

						m = 5
А*=	®	-cos			-cos a4		узел 1
®	-sin			-sin a4
	cos	-cos	-cos a3			узел 2
	sin	-sin	-sin a3
			cos a3	cos a4	-cos a5	узел 3
			sin a3	sin a4	-sin a5
		cos			cos a5	узел 4
®		sin			sin a5

 

Стрелками отмечены строки, соответствующие трем опорным связям. После удаления этих строк получаем матрицу

 

А =
	cos a1	-cos a2	-cos a3
	sin a1	-sin a2	-sin a3
			cos a3	cos a4	-cos a5
			sin a3	sin a4	-sin a5
n=5		cos a2			cos a5

 

По координатам узлов фермы легко определяются углы, образуемые осями каждого стержня с осью Х общей системы координат, и значения косинусов и синусов этих углов:

, ; т.е.

 

cosa1=0,8;

cosa2=0,8;

cosa3=0,

сosa4=1,

cosa5=1,

sina1=0,6;

sina2= -0,6;

sina3= -1,

sina4=0,

sina5=0.

0,8

-0,8

0,6

0,6

А =

-1

-1

0,8

 

В данном примере матрица А получилась квадратной и невырожденной, что свидетельствует о статической определимости рассматриваемой фермы. Усилия в стержнях фермы можно определить из уравнения (1), не привлекая физических и геометрических уравнений. Действительно, решение уравнения (1) имеет вид

 

		0,625	0,833		0,833			P	=	-0,208	Р
		-0,625	0,833		0,833				-1,458
	N=A-1p=				-1
	0,5	-0,667		-0,667			-P	1,167
0,5	-0,667		-0,667				1,167

 

Уравнения равновесия при необходимости позволяют определить реакции опор. Составим из вычеркиваемых строк матрицы А*, отмеченных выше стрелками, матрицу R с размерами С_оп´m, где С_оп – количество опорных связей. Из неизвестных компонент опорных реакций составим вектор r. Тогда

r = RN. (2)

Для рассматриваемого примера

 

-cosa1

-cosa4

N=

r =

-sina1

-sina4

sina2

sina5

-0,8

-1

N=

-1

P =

HA

-0,6

0,125

VA

-0,6

0,875

VB