ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА. ФОРМУЛА ЯСИНСКОГО
ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА. ФОРМУЛА ЯСИНСКОГО - раздел Физика, СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Формула Эйлера, Полученная Более 200 Лет Назад, Долгое Время Являлась Предмет...
Формула Эйлера, полученная более 200 лет назад, долгое время являлась предметом дискуссий. Споры длились около 70 лет. Одной из главных причин споров явилось то обстоятельство, что формула Эйлера для некоторых случаев не подтверждалась экспериментами. Объясняется это тем, что формула Эйлера выводилась в предположении, что при любом значении стержень работает в пределах упругих деформаций с использованием закона Гука.
Поэтому естественно, что ее нельзя применять в случаях, когда критические напряжения больше предела пропорциональности. Для установления предела применимости формулы Эйлера найдем
Здесь - радиус инерции.
Обозначим μl/i через λ. Величина λназывается гибкостью стержня.
Итак,
(15.9)
Приравнивая это напряжение пределу пропорциональности, получим предельное значение гибкости
Если λ>λ0то можно применять формулу Эйлера. Если же λ<λ0, то формулой Эйлера пользоваться нельзя. Для стали Ст. 3 σпЦ ≈ 2000 кгс/см2, Е = 2,1 -106кгс/см2. Приняв π2 =10, получим
Для стали Ст. 5 λ0 = 90.
Для случая, когда стержень работает за пределами упругих деформаций, теоретические выводы сильно усложняются. Поэтому были проведены экспериментальные исследования. На основе опытных данных Ф. С. Ясинский предложил эмпирическую формулу для определения критических напряжений
σкр = а+ bλ,
где а и b — постоянные, зависящие от материала. Так, например, для стали Ст. 3
σкр = 3100 – 11.4λ;
для дерева
σкр = 293 – 1,94λ.
На рисунке 361 схематически показан полный график зависимости критических напряжений от гибкости для стали Ст. 3. Гипербола Эйлера, построенная по уравнению (15.9), при λ<λ0 показана пунктиром, так как ею пользоваться на этом участке нельзя.
При гибкостях, равных от 0 до 40—50, стержень настолько короткий, что практически разрушается при потере прочности, поэтому критическое напряжение может быть принято равным пределу текучести (или пределу прочности). При гибкостях, лежащих в интервале 50 ≤λ≤λ0, стержень теряет устойчивость, деформируясь в упруго-пластической области, поэтому график очерчен по прямой Ясинского.
На этом же рисунке нанесены точки, показывающие значения критических напряжений, полученных экспериментальным путем. Многочисленные экспериментальные исследования, проведенные в разных странах, показывают хорошее совпадение опытных данных с полным графиком критических напряжений.
Применение формул Эйлера и Ясинского позволяет решить задачу устойчивости сжатых стержней на всем интервале гибкостей, которые встречаются в строительной практике.
Помимо чисто экспериментальных результатов для случаев, когда стержень работает в упруго-пластической области, имеются теоретические исследования, в которых для критических сил предлагаются формулы, подобные формуле Эйлера. К числу таких исследований, прежде всего, необходимо отнести работу Ясинского, где предлагается применять формулу Эйлера для упруго-пластической области, но с использованием так называемого приведенного модуля
(15.10)
Идея применения приведенного модуля Еr заключается в том, что первоначально сжатый стержень при последующем изгибе начинает работать как стержень с различными модулями упругости при растяжении и сжатии.
Представим себе, что стержень центрально сжат и напряжения превышают предел упругости, а сила, действующая на стержень, близка к критической. При достижении ею критического значения стержень начинает изгибаться. От изгибающего момента в одной части поперечного сечения появятся дополнительные сжимающие напряжения, а в другой дополнительные напряжения будут растягивающими. Следовательно, в этой части поперечного сечения происходит разгрузка. Как известно, модуль упругости при разгрузке материала совпадает с обычным модулем упругости, а модуль упругости при дальнейшем догружении материала равен тангенсу угла наклона касательной к диаграмме сжатия (рисунок 362). Таким образом, если стержень центрально сжат с напряжениями, превышающими предел упругости, а затем начинает изгибаться, то при изгибе он работает как стержень с различными модулями упругости на растяжение и сжатие.
Рисунок 361 Рисунок 362
Задача об изгибе такого стержня решалась в § 69. Воспользуемся выражением приведенного модуля упругости из § 69. Так, например, для стержня с прямоугольным поперечным сечением приведенный модуль, или, как его иначе называют, модуль Ясинского, определяется следующей формулой:
где Е1 — модуль упругости при разгрузке, равный начальному модулю (например, для стали E1 = Е — 2,1 х 106 кгс/см2);
Е2 = Еτ — модуль упругости, взятый для соответствующего осевого напряжения. Он равен тангенсу угла наклона касательной к кривой сжатия, поэтому часто называется касательным модулем.
Формула Ясинского (15.10) довольно хорошо совпадает с результатами, полученными экспериментальным путем.
ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Для того чтобы судить о работе изгибаемых балок; недостаточно знать только напряжения, которые возникают в сечениях балки от заданной нагрузки.
Вычисленные напряжения позволяют проверить п
КОСОЙ ИЗГИБ
Косым изгибом называется такой случай изгиба бруса, при котором плоскость действия суммарного изгибающего момента в сечении не совпадает ни с одной из главных осей инерции. Короче говоря, в
ОДНОВРЕМЕННОЕ ДЕЙСТВИЕ ИЗГИБА И ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ
Очень многие стержни сооружений и машин работают одновременно как на изгиб, так и на растяжение или сжатие. Простейший случай показан на рис. 285, когда на колонну действует нагрузка, вызывающая в
ВНЕЦЕНТРЕННОЕ ДЕЙСТВИЕ ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ
Рис. 288
1. Определение напряжений. Рассмотрим случай внецентренного сжатия массивных колонн (рис. 288). Такая задача очень часто встречается в мосто
ОДНОВРЕМЕННОЕ ДЕЙСТВИЕ КРУЧЕНИЯ С ИЗГИБОМ
Одновременное действие кручения с изгибом чаще всего встречается в различных деталях машин. Например, коленчатый вал воспринимает значительные крутящие моменты и, кроме того, работает на изгиб. Оси
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
При оценке прочности различных конструкций и машин часто приходится учитывать, что многие их элементы и детали работают в условиях сложного напряженного состояния.
В гл. III было установле
ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ
Энергетическая теория основывается на предположении о том, что количество удельной потенциальной энергии деформации, накопленной к моменту наступления предельного напряженного с
ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ МОРА
Во всех рассмотренных выше теориях в качестве гипотезы, устанавливающей причину наступления предельного напряженного состояния, принималась величина какого-либо одного фактора, например напряжения,
ОБЪЕДИНЕННАЯ ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ
В данной теории различают два вида разрушения материала: хрупкое, которое происходит путем отрыва, и вязкое, наступающее от среза (сдвига) [‡‡].
Напряжени
ПОНЯТИЕ 0 НОВЫХ ТЕОРИЯХ ПРОЧНОСТИ
Выше были изложены основные теории прочности, созданные за длительный период, начиная со второй половины XVII и до начала XX в.
Необходимо отметить, что помимо изложенных существует большо
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Тонкостенными называют стержни, длина которых значительно превышает основные размеры b или h поперечного сечения (в 8— 10 раз), а последние, в свою очередь, значительно превосходят (также в
СВОБОДНОЕ КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
Свободным кручением называется такое кручение, при котором депланация всех поперечных сечений стержня будет одинаковой.
Так, на рисунке 310, а, б показан стержень, нагруженны
ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В строительной практике и в особенности в машиностроении часто встречаются стержни (брусья) с криволинейной осью. На рисунке 339
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ КРИВОГО БРУСА
В отличие от прямого бруса внешняя сила, приложенная нормально к какому-либо сечению кривого бруса, в других его сечениях вызывает изгибающие моменты. Поэтому только растяжение (или сжатие) кривого
ЧИСТЫЙ ИЗГИБ КРИВОГО БРУСА
Для определения напряжений при чистом изгибе плоского кривого бруса, так же как для прямого бруса, считаем справедливой гипотезу плоских сечений. Определяя деформации волокон бруса, пренебрегаем на
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
В предыдущих главах рассматривались методы определения напряжений и деформаций при растяжении, сжатии, кручения и изгибе. Были также установлены критерии прочности материала при сложном сопротивлен
МЕТОД ЭЙЛЕРА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ СИЛ. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА
Для исследования устойчивости равновесия упругих систем имеется несколько методов. Основы и техника применения этих методов изучаются в специальных курсах, посвященных проблемам устойчивости различ
ПРАКТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
При назначении размеров сжатых стержней в первую очередь приходится заботиться о том, чтобы стержень в процессе эксплуатации при действии сжимающих сил не потерял устойчивость. Поэтому напряжения в
ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Во всех предыдущих главах курса рассматривалось действие статической нагрузки, которая прикладывается к сооружению настолько медленно, что возникающие при этом ускорения движения частей сооружения
УЧЕТ СИЛ ИНЕРЦИИ ПРИ РАСЧЕТЕ ТРОСА
Рассмотрим расчет троса при подъеме груза весом G с ускорением а (рисунок 400). Вес 1 м троса обозначим q. Если груз неподвижен, то в произвольном сечении каната mn возникает статическое усилие от
РАСЧЕТЫ НА УДАР
Под ударом понимается взаимодействие движущихся тел в результате их соприкосновения, связанное с резким изменением скоростей точек этих тел за весьма малый промежуток времени.
Время удара
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ
Если на систему действует сила Р (t), изменяющаяся во времени по какому-либо закону, то колебания балки, вызванные действием этой силы, называют вынужденными. После приложения силы инерции б
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ
Выведенные в предыдущих главах формулы для определения напряжений при растяжении, кручении и изгибе справедливы только в том случае, когда сечение отстоит на достаточном расстоянии от мест резкого
ПОНЯТИЕ ОБ УСТАЛОСТНОМ РАЗРУШЕНИИ И ЕГО ПРИЧИНЫ
С появлением первых машин стало известно, что под воздействием напряжений, переменных во времени, детали машин разрушаются при нагрузках меньше тех, которые опасны при постоянных напряжениях. С раз
ВИДЫ ЦИКЛОВ НАПРЯЖЕНИЙ
Рис. 439
Рассмотрим задачу об определении напряжений в точке К, распо
ПОНЯТИЕ О ПРЕДЕЛЕ ВЫНОСЛИВОСТИ
Надо иметь в виду, что не любые по величине переменные напряжения вызывают усталостное разрушение. Оно может наступить при условии, если переменные напряжения в той или иной точке детали превзойдут
ДИАГРАММА ПРЕДЕЛЬНЫХ АМПЛИТУД
Экспериментально установлено, что предел выносливости при асимметричном цикле больше, чем при симметричном, и зависит от степени асимметрии цикла:
ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ВЕЛИЧИНУ ПРЕДЕЛА ВЫНОСЛИВОСТИ
На величину предела выносливости влияют многие факторы. Рассмотрим влияние наиболее важных из них, которые обычно учитываются при оценке усталостной прочности.
Концентрация напряжений. Уст
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
В расчетах на прочность при переменных напряжениях прочность детали принято оценивать по величине фактического коэффициента запаса п, сравнивая его с допускаемым коэффициентом запаса [n
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов