ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ - раздел Физика, СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Для Того Чтобы Получить Аналитическое Выражение Прогибов И Углов Поворота, Не...
Для того чтобы получить аналитическое выражение прогибов и углов поворота, необходимо найти решение дифференциального уравнения (9.5).
Правая часть уравнения (9.5) является известной функцией от z, поэтому имеем простое дифференциальное уравнение. Интегрируя его первый раз, получим
(а)
Это выражение определяет закон изменения углов поворота касательной по длине балки.
После повторного интегрирования находим уравнение оси изогнутого бруса:
(б)
Для вычисления интегралов, входящих в выражения (а) и (б), необходимо сначала написать аналитические выражения изгибающего момента и жесткости. Постоянные интегрирования С и D находятся из граничных условий, которые зависят от способов закрепления бруса.
Для уяснения сказанного рассмотрим примеры.
1. Составить выражение прогиба и угла поворота в произвольном сечении консольной балки, загруженной силой Р (рис. 227). Рассматривая равновесие правой отсеченной части, найдем
М = – P (l - z).
Знак минус взят потому, что нижние волокна Рис. 227 балки сжаты. Так как ось Оу направлена кверху, то в правой части дифференциального уравнения (9.5) надо взять знак плюс:
Для нашего случая имеем
Предположим, что жесткость балки постоянна. Интегрируя один раз, получим
(в)
Интегрируя еще раз, имеем
(г)
Так как в заделке прогиб и угол поворота равны нулю, то для определения постоянных будем иметь следующие граничные условия:
Из уравнения (в) видно, что постоянная С представляет собой угол поворота в начале координат. Положив z = 0, находим С = 0. Из уравнения (г) следует, что постоянная D – это прогиб в начале координат. Положив в уравнении (г) z = 0, получаем D = 0.
Итак, имеем:
Из рис. 227 видно, что наибольший прогиб будет под грузом. Положив z=l, из первого уравнения найдем
Угол поворота на конце балки
Знак минус у прогиба свидетельствует о том, что его направление не совпадает с положительным направлением оси у, минус в выражении угла поворота показывает, что касательная не проходит в положительной четверти осей координат.
2. Определим прогибы двухопорной балки постоянного сечения, показанной на рис. 228.
Так как ось у направлена вниз, то в дифференциальном уравнении необходимо взять знак минус:
Рис. 228
Изгибающий момент в произвольном сечении равен
Таким образом, дифференциальное уравнение запишется в следующем виде:
Последовательное интегрирование дает:
(д)
(е)
Для определения двух постоянных С и D необходимо иметь два условия. В рассматриваемом случае на левом и на правом концах прогиб равен нулю. Таким образом, граничные условия равны: при z = 0 v = 0; при z = l v = 0.
Подставляя в уравнение (е) z = 0 и приравнивая прогиб нулю, получим D=0; подставляя в это же уравнение z = l и также приравняв прогиб нулю, имеем
Следовательно,
Найденные значения постоянных подставим в уравнения (д) и (е) и получим уравнения прогибов и углов поворота:
Давая теперь абсциссе z определенные значения, получим численные величины прогибов и углов поворота в определенных сечениях палки. Таким образом, можно вычислить прогиб и поворот сечения в середине пролета, в четверти пролета и т. п.
Если в точке, где прогиб наибольший, функция прогибов имеет максимум, то для нахождения этой точки необходимо приравнять нулю первую производную от v, т. е. выражение для угла поворота. В данной задаче наибольший прогиб определяют из условия симметрии. Он находится посередине пролета. Положив z = l/2, получим
Если на различных участках балки момент (или жесткость) имеет разные законы изменения, то необходимо составить несколько дифференциальных уравнений, каждое из которых отвечает своему участку. В соответствии с этим число произвольных постоянных равно удвоенному числу Рис. 229 участков интегрирования. Для определения постоянных всегда можно установить условия на границах каждого участка (граничные условия). Так, например, из условий непрерывности и гладкости оси изогнутого бруса вытекает, что на левом конце какого-либо участка прогиб и угол поворота будут такими же, как на правом конце предшествующего участка.
Граничные условия приведут к системе уравнений, число которых соответствует числу постоянных. Совместное решение уравнений позволит найти постоянные и получить для каждого участка уравнение прогибов и углов поворота. Однако необходимость решения совместных уравнений очень сильно усложняет задачу, поэтому непосредственное интегрирование применяют только в тех случаях, когда число участков невелико (один – два).
Рассмотрим балку, показанную на рис. 229. В данном случае имеем три участка, для которых изгибающие моменты равны:
Дифференциальные уравнения имеют вид:
для первого участка
для второго участка
для третьего участка
Интегралы этих уравнений:
для первого участка
для второго участка
для третьего участка
Для определения шести произвольных постоянных имеется шесть граничных условии: при z = 0 v1(0) = 0; при z = a1прогибы и углы поворота для двух прилегающих участков одинаковы:
при z = а2 также имеют место равенства
при z=l
Выполняя эти условия, получив шесть уравнений с шестью неизвестными, которые необходимо совместно решить. Задача сильно усложняется, поэтому не будем доводить ее до конца.
В данном случае преследовалась цель показать методику и выяснить трудности, возникающие при решении задач, в которых балка загружена произвольной нагрузкой.
Для решения таких задач применяют другие методы, которые излагаются ниже.
ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Для того чтобы судить о работе изгибаемых балок; недостаточно знать только напряжения, которые возникают в сечениях балки от заданной нагрузки.
Вычисленные напряжения позволяют проверить п
КОСОЙ ИЗГИБ
Косым изгибом называется такой случай изгиба бруса, при котором плоскость действия суммарного изгибающего момента в сечении не совпадает ни с одной из главных осей инерции. Короче говоря, в
ОДНОВРЕМЕННОЕ ДЕЙСТВИЕ ИЗГИБА И ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ
Очень многие стержни сооружений и машин работают одновременно как на изгиб, так и на растяжение или сжатие. Простейший случай показан на рис. 285, когда на колонну действует нагрузка, вызывающая в
ВНЕЦЕНТРЕННОЕ ДЕЙСТВИЕ ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ
Рис. 288
1. Определение напряжений. Рассмотрим случай внецентренного сжатия массивных колонн (рис. 288). Такая задача очень часто встречается в мосто
ОДНОВРЕМЕННОЕ ДЕЙСТВИЕ КРУЧЕНИЯ С ИЗГИБОМ
Одновременное действие кручения с изгибом чаще всего встречается в различных деталях машин. Например, коленчатый вал воспринимает значительные крутящие моменты и, кроме того, работает на изгиб. Оси
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
При оценке прочности различных конструкций и машин часто приходится учитывать, что многие их элементы и детали работают в условиях сложного напряженного состояния.
В гл. III было установле
ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ
Энергетическая теория основывается на предположении о том, что количество удельной потенциальной энергии деформации, накопленной к моменту наступления предельного напряженного с
ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ МОРА
Во всех рассмотренных выше теориях в качестве гипотезы, устанавливающей причину наступления предельного напряженного состояния, принималась величина какого-либо одного фактора, например напряжения,
ОБЪЕДИНЕННАЯ ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ
В данной теории различают два вида разрушения материала: хрупкое, которое происходит путем отрыва, и вязкое, наступающее от среза (сдвига) [‡‡].
Напряжени
ПОНЯТИЕ 0 НОВЫХ ТЕОРИЯХ ПРОЧНОСТИ
Выше были изложены основные теории прочности, созданные за длительный период, начиная со второй половины XVII и до начала XX в.
Необходимо отметить, что помимо изложенных существует большо
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Тонкостенными называют стержни, длина которых значительно превышает основные размеры b или h поперечного сечения (в 8— 10 раз), а последние, в свою очередь, значительно превосходят (также в
СВОБОДНОЕ КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
Свободным кручением называется такое кручение, при котором депланация всех поперечных сечений стержня будет одинаковой.
Так, на рисунке 310, а, б показан стержень, нагруженны
ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В строительной практике и в особенности в машиностроении часто встречаются стержни (брусья) с криволинейной осью. На рисунке 339
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ КРИВОГО БРУСА
В отличие от прямого бруса внешняя сила, приложенная нормально к какому-либо сечению кривого бруса, в других его сечениях вызывает изгибающие моменты. Поэтому только растяжение (или сжатие) кривого
ЧИСТЫЙ ИЗГИБ КРИВОГО БРУСА
Для определения напряжений при чистом изгибе плоского кривого бруса, так же как для прямого бруса, считаем справедливой гипотезу плоских сечений. Определяя деформации волокон бруса, пренебрегаем на
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
В предыдущих главах рассматривались методы определения напряжений и деформаций при растяжении, сжатии, кручения и изгибе. Были также установлены критерии прочности материала при сложном сопротивлен
МЕТОД ЭЙЛЕРА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ СИЛ. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА
Для исследования устойчивости равновесия упругих систем имеется несколько методов. Основы и техника применения этих методов изучаются в специальных курсах, посвященных проблемам устойчивости различ
ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА. ФОРМУЛА ЯСИНСКОГО
Формула Эйлера, полученная более 200 лет назад, долгое время являлась предметом дискуссий. Споры длились около 70 лет. Одной из главных причин споров явилось то обстоятельство, что формула Эйлера д
ПРАКТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
При назначении размеров сжатых стержней в первую очередь приходится заботиться о том, чтобы стержень в процессе эксплуатации при действии сжимающих сил не потерял устойчивость. Поэтому напряжения в
ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Во всех предыдущих главах курса рассматривалось действие статической нагрузки, которая прикладывается к сооружению настолько медленно, что возникающие при этом ускорения движения частей сооружения
УЧЕТ СИЛ ИНЕРЦИИ ПРИ РАСЧЕТЕ ТРОСА
Рассмотрим расчет троса при подъеме груза весом G с ускорением а (рисунок 400). Вес 1 м троса обозначим q. Если груз неподвижен, то в произвольном сечении каната mn возникает статическое усилие от
РАСЧЕТЫ НА УДАР
Под ударом понимается взаимодействие движущихся тел в результате их соприкосновения, связанное с резким изменением скоростей точек этих тел за весьма малый промежуток времени.
Время удара
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ
Если на систему действует сила Р (t), изменяющаяся во времени по какому-либо закону, то колебания балки, вызванные действием этой силы, называют вынужденными. После приложения силы инерции б
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ
Выведенные в предыдущих главах формулы для определения напряжений при растяжении, кручении и изгибе справедливы только в том случае, когда сечение отстоит на достаточном расстоянии от мест резкого
ПОНЯТИЕ ОБ УСТАЛОСТНОМ РАЗРУШЕНИИ И ЕГО ПРИЧИНЫ
С появлением первых машин стало известно, что под воздействием напряжений, переменных во времени, детали машин разрушаются при нагрузках меньше тех, которые опасны при постоянных напряжениях. С раз
ВИДЫ ЦИКЛОВ НАПРЯЖЕНИЙ
Рис. 439
Рассмотрим задачу об определении напряжений в точке К, распо
ПОНЯТИЕ О ПРЕДЕЛЕ ВЫНОСЛИВОСТИ
Надо иметь в виду, что не любые по величине переменные напряжения вызывают усталостное разрушение. Оно может наступить при условии, если переменные напряжения в той или иной точке детали превзойдут
ДИАГРАММА ПРЕДЕЛЬНЫХ АМПЛИТУД
Экспериментально установлено, что предел выносливости при асимметричном цикле больше, чем при симметричном, и зависит от степени асимметрии цикла:
ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ВЕЛИЧИНУ ПРЕДЕЛА ВЫНОСЛИВОСТИ
На величину предела выносливости влияют многие факторы. Рассмотрим влияние наиболее важных из них, которые обычно учитываются при оценке усталостной прочности.
Концентрация напряжений. Уст
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
В расчетах на прочность при переменных напряжениях прочность детали принято оценивать по величине фактического коэффициента запаса п, сравнивая его с допускаемым коэффициентом запаса [n
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
(а)
(б)
1. Составить выражение прогиба и угла поворота в произвольном сечении консольной балки, загруженной силой Р (рис. 227). Рассматривая равновесие правой отсеченной части, найдем
(в)
(г)
(д)
(е)
Если на различных участках балки момент (или жесткость) имеет разные законы изменения, то необходимо составить несколько дифференциальных уравнений, каждое из которых отвечает своему участку. В соответствии с этим число произвольных постоянных равно удвоенному числу Рис. 229 участков интегрирования. Для определения постоянных всегда можно установить условия на границах каждого участка (граничные условия). Так, например, из условий непрерывности и гладкости оси изогнутого бруса вытекает, что на левом конце какого-либо участка прогиб и угол поворота будут такими же, как на правом конце предшествующего участка.
Новости и инфо для студентов