РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ

В расчетах на прочность при переменных напряжениях прочность детали принято оценивать по величине фактического коэффициента запаса п, сравнивая его с допускаемым коэффициентом запаса [n], устанавливаемым нормами. Условие прочности записывается в виде

п≥[п].

Коэффициенты запаса п можно определить приближенно с помощью схематизированных диаграмм предельных амплитуд, например, показанной на рис. 447, б. Сначала найдем коэффициент запаса не для реальной детали, а для гладкого стандартного образца. Будем считать, что внешняя нагрузка меняется таким образом, что рабочий цикл, для которого определяется коэффициент запаса, и соответствующий предельный цикл подобны. Из начала координат диаграммы (см. рис. 447, 6) проводим луч 01 под углом α, определяемым , где и – амплитудное и среднее напряжения рабочего цикла. Точка М на прямой с координатами , и характеризует рабочий цикл. Точка N с координатами и характеризует предельное значение этого же цикла. Таким образом, величину коэффициента запаса п можно определить как отношение отрезков

Если луч 01 пересекает прямую АВ, рост напряжений цикла вызывает в образце усталостное разрушение. Коэффициент запаса по отношению к усталостному разрушению в этом случае обозначается n_R и определяется из следующих соображений: точка N находится на прямой АВ и удовлетворяет уравнению (19.11), которое принимает вид

(19.13)

откуда

(19.14)

Получен коэффициент запаса для гладкого образца. Прочность детали зависит от размеров и формы этой детали, от состояния ее поверхности. Все это учитывается соответствующими коэффициентами, в нашем случае эффективным коэффициентом концентрации напряжений k_σ, коэффициентом поверхностной чувствительности β, масштабным коэффициентом ε_σ.

Для получения диаграммы предельных амплитуд соответствующей детали нужно предел выносливости при симметричном цикле уменьшить в раз, или, что то же самое, амплитудное напряжение рабочего цикла увеличить в раз, тогда уравнение (19.13) примет вид

(19.15)

коэффициент запаса детали будет равен

(19.16)

Заметим, что если вместо диаграммы (рис. 447, 6) применить еще более упрощенную диаграмму, построенную по двум точкам (рис. 447, а), то в формуле (19.16) изменится лишь угловой коэффициент ψ прямой АВ. В этом случае нужно принимать

Если луч 01 пересекает прямую ВD (см. рис. 447, б), рост напряжений цикла выведет деталь из строя вследствие появления в ней пластических деформаций.

Коэффициент запаса по отношению к пределу текучести обозначается n_Т и вычисляется по формуле

(19.17)

Для деталей, изготовленных из высокопрочных сталей, разрушение может произойти от понижения статической прочности, вызванного концентрацией напряжений. Подобные случаи возможны при коэффициентах асимметрии, близких к единице.

Коэффициент запаса в этом случае определяется по формуле

(19.18)

 

где – предел прочности;

– напряжение, определяемое без учета концентрации;

k_s – коэффициент, учитывающий снижение статической прочности вследствие концентрации напряжений, называемый эффективным статическим коэффициентом концентрации напряжений.

Изложенный расчет относился к случаю одноосного напряженного состояния. В случае плоского или объемного напряженного состояния вопрос оценки прочности значительно усложняется.

Теории прочности, разработанные и достаточно проверенные на опытах при постоянных напряжениях, непосредственно неприменимы к случаю переменных напряжений. В настоящее время этот вопрос еще недостаточно разрешен. Практически в расчетах при плоском напряженном состоянии, характеризуемом нормальным напряжением σ и касательным напряжением τ, используется следующая зависимость:

(19.19)

где n – искомый коэффициент запаса при плоском напряженном состоянии;

n_σ, n_τ – коэффициенты запаса, определяемые по формуле (19.16) в пред-
положении, что действуют соответственно только нормальные
напряжения σ или только касательные напряжения τ.

Зависимость (19.19) подтверждается некоторыми опытами. Она может быть выведена и теоретически путем распространения третьей теории прочности (теории наибольших касательных напряжений) на случай, когда напряжения σ и τ изменяются по симметричному циклу в одной фазе, т. е. так, что максимумы их во времени совпадают. Однако практически ею пользуются и для несимметричных циклов а также в случае несинфазного изменения σ и τ.

Из уравнения (19.19) находится искомый коэффициент запаса:

(19.20)

Пример 1. Поршневой трубчатый палец мотора нагружается силой Р, из меняющейся в пределах от Р = 6000 кгс до Р = – 2000 кгс.

Рис. 450

Механические характеристики материала поршневого пальца: предел прочности
σ_В = 10 000 кгс/см², предел текучести σ_Т = 8000 кгс/см², предел выносливости для симметричного цикла σ_-1 = 5000 кгс/см², предел выносливости для отнулевого цикла
σ = 7500 кгс/см².

Наружная поверхность пальца полирована. Коэффициент поверхностной чувствительности β=1, масштабный коэффициент ε_σ = 0,9, эффективный коэффициент концентрации напряжений k_σ = 1,1.

Определить коэффициент запаса по усталостной прочности.

На рис. 450, а изображена схема передачи усилий на палец, а на рис. 450, б -эпюра изгибающих моментов.

Изгибающий момент в расчетном сечении равен

Момент сопротивления сечения

Наибольшее и наименьшее значения изгибающего момента равны:

Максимальное и минимальное нормальные напряжения равны:

Амплитудное и среднее значения напряжений рабочего цикла составляют:

 

Определяем предельные значения амплитудного и среднего напряжения отнулевого цикла:

Далее, по известным значениям для , и строим диаграмму предельных амплитуд (рис. 450, в).

Из начала координат диаграммы проводим луч ON под углом α, определяемым равенством

Считаем, что рабочий и предельный циклы подобны. Точка М с координатами напряжений' рабочего цикла [‡‡‡‡]

=2720 кгс/см² и =1125 кгс/см² и точка N с координатами предельных напряжений, =4350 кгс/см², =1785 кгс/см² этого же цикла лежат на одной прямой ON. Значение координат предельных напряжений определено по диаграмме.

Коэффициент запаса n_R можно определить как отношение амплитуд, снятых с графика:

n_R=4350:2720=1,6.

То же значение коэффициента запаса, естественно, получается и по формуле (19.16):

,

где

Тогда

Рис. 451

 

Пример 2. Вал вращается с помощью мотора мощностью N = 50 квт. На валу, делающем n = 600 об/мин, насажено колесо с зубьями. Диаметр колеса D = 300 мм. Колесо закреплено на валу с помощью шпонок. Диаметр вала d = 50 мм, длина его l = 500 мм (рис. 451). Найти коэффициент запаса для сечения 1-1.

Механические характеристики материала вала:

предел прочности σ_В = 6000 кгс/см²; предел текучести σ_Т = 3600 кгс/см² предел выносливости при симметричном цикле σ_-1 = 2400 кгс/см²; предел выносливости отнулевого цикла σ₀ = 3500 кгс/см²; предел текучести при кручении τ_Т = 2250 кгс/см²; предел выносливости симметричного цикла при кручении τ_-1 == 1800 кгс/см²; предел выносливости отнулевого цикла при кручении τ₀ = 2700 кгс/см².

Крутящий момент определяем по формуле

Окружное усилие равно

Изгибающий момент в сечении 1-1

Напряжения равны:

При вращении вала крайние его волокна испытывают попеременное растяжение и сжатие. Таким образом, для нормальных напряжений имеем симметричный цикл, у которого

Крутящий момент постоянный, следовательно, τ_а = 0; τ_m = 324 кгс/см².

Эффективный коэффициент концентрации напряжений вала со шпоночной канавкой, коэффициент поверхностной чувствительности и масштабный коэффициент для этого примера можно найти по Справочнику машиностроения, т.III. Они равны:

Коэффициенты запаса п_σ и п_τ по усталостному разрушению найдем по формулам:

Коэффициенты запаса п_σ и п_τ по отношению к пределу текучести равны:

Принимая для расчета меньшие значения и , найдем общий коэффициент запаса прочности по формуле

Вопросы для самопроверки

1. Что такое прямой изгиб и косой изгиб?

2. Что такое чистый и поперечный изгиб?

3. Какие внутренние усилия возникают в поперечных сечениях бруса в общем случае действия на него плоской системы сил?

4. Какие правила знаков приняты для каждого из внутренних усилий?

5. Как вычисляется изгибающий момент в поперечном сечении бруса?

6. Как вычисляется поперечная и продольная силы в поперечном сечении бруса?

7. Какие типы опор применяются для закрепления балок к основанию?

8. Как может быть осуществлено неподвижное (геометрически неизменяемое) и статически определимое закрепление балок к земле?

9. При каком числе связей балка становится статически неопределимой?

10. Какие уравнения используются для определения значений опорных реакций?

11. Чему равна горизонтальная опорная реакция горизонтальной балки при вертикальной нагрузке?

12. Как проверить правильность определения опорных реакций?

13. Как определяются опорные реакции многопролетной шарнирной балки?

14. Что такое эпюра поперечных сил, эпюра продольных сил и эпюра изгибающих моментов? Что представляет собой каждая ордината этих эпюр?

15. В каком порядке строятся эпюры Q и M?

16. Почему при построении эпюр Q и M для балки, заделанной одним концом, можно обойтись без определения опорных реакций?

17. Какая существует дифференциальная зависимость между поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки, перпендикулярной оси бруса? Дайте вывод этой зависимости.

18. В чем состоит теорема Журавского? Выведите эту теорему.

19. Чему равна поперечная сила в сечениях бруса, в которых изгибающий момент достигает экстремальных значений?

20. По какому закону меняется поперечная сила и изгибающий момент по длине оси бруса при отсутствии распределенной нагрузки?

21. Какой вид имеет эпюра изгибающих моментов на участке балки, во всех сечениях которого поперечная сила равна нулю?

22. Как меняется поперечная сила в сечении, в котором к балке приложена сосредоточенная внешняя сила, перпендикулярная оси балки?

23. Как меняется изгибающий момент в сечении, в котором к балке приложен сосредоточенный внешний момент?

24. В чем заключается проверка эпюр Q и M?

25. В какую сторону обращена выпуклостью эпюра М при распределенной нагрузке, направленной вниз?

26. Как связано изменение величины изгибающего момента М с площадью эпюры Q?

27. Какой вид имеют эпюры М для балки, заделанной одним концом: а) от сосредоточенной силы, перпендикулярной оси балки, приложенной на свободном конце? б) от сосредоточенного момента, приложенного на свободном конце балки? в) от равномерно распределенной нагрузки, перпендикулярной оси балки, действующей по всей ее длине?

28. Как определяется экстремальное значение изгибающего момента?

29. Как выделить из балки любой ее участок, так чтобы условия, в которых он находился, при этом не изменились?

30. Как формулируется гипотеза плоских сечений?

31. Что такое нейтральный слой и нейтральная ось и как они расположены?

32. Чему равна кривизна оси балки при чистом изгибе? Выведите соответствующую формулу.

33. По какой формуле определяются нормальные напряжения в поперечном сечении балки при чистом изгибе и как они меняются по высоте балки? Выведите эту формулу.

34. Что такое жесткость сечения при изгибе?

35. Что называется моментом сопротивления при изгибе и какова его размерность?

36. При каком условии балка с поперечным сечением, не имеющим ни одной оси симметрии, будет находиться в условиях чистого прямого изгиба?

37. По какой формуле определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при поперечном изгибе?

38. Выведите формулу для определения касательных напряжений в поперечных сечениях балки при прямом поперечном изгибе. Как используется при выводе этой формулы закон парности касательных напряжений?

39. Какой вид имеют эпюры касательных напряжений в поперечных сечениях прямоугольной и двутавровой формы?

40. Как находятся главные напряжения при изгибе?

41. Как направлены главные площадки на уровне нейтрального слоя и в точках, наиболее удаленных от этого слоя?

42. Что такое траектории главных напряжений?

43. Как вычисляется потенциальная энергия деформации изгиба? Выведите соответствующую формулу.

44. Какие формы поперечных сечений являются рациональными для балок из пластичных материалов?

45. Как производится расчет на прочность при прямом изгибе балки из пластичного материала, имеющей постоянное по всей длине поперечное сечение? Напишите зависимости для всех трех видов расчета: проверочного, проектного и служащего для определения допускаемой нагрузки.

46. В каких случаях следует производить дополнительную проверку балок на прочность по наибольшим касательным напряжениям, возникающим в их поперечных сечениях? как производится эта проверка?

47. Как производится дополнительная проверка прочности сварных и клепаных двутавровых балок по главным и максимальным касательным напряжениям, возникающим в наклонных сечениях? Для каких точек следует производить данную проверку?

48. Какие поперечные сечения являются рациональными для балок из хрупких материалов (типа чугуна)? Как следует располагать эти сечения?

49. Докажите, что сечения, изображенные на рис.50.7, расположены в порядке возрастания их моментов сопротивления.

50. Какая балка называется балкой равного сопротивления?

51. Выведите формулу для определения касательных напряжений, возникающих при прямом поперечном изгибе в поперечных сечениях полок швеллерной балки и направленных перпендикулярно поперечной силе.

52. Что такое центр изгиба? Выведите формулу для определения положения центра изгиба швеллера.

53. В чем состоит практическое значение определения положения центра изгиба?

54. Какие балки называют составными?

55. Как определяется шаг горизонтальных заклепок составной балки таврового сечения, прикрепляющих пояса к стенке?

56. Что такое брус (балка) разнородной упругости?

57. По каким формулам определяются геометрические характеристики приведенного сечения для бруса разнородной упругости?

58. По каким формулам определяются нормальные и касательные напряжения при изгибе бруса разнородной упругости?

59. Какие перемещения получают поперечные сечения балок при прямом изгибе?

60. Почему точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки может быть заменено приближенным уравнением?

61. Выведите основное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.

62. Какая дифференциальная зависимость существует между прогибами и углами поворота сечений балки?

63. Как из основного (приближенного) дифференциального уравнения изогнутой оси балки получаются выражения углов поворота и прогибов ее сечений?

64. Из каких условий определяются постоянные интегрированные, входящие в уравнение углов поворота и прогибов сечения балки?

65. Как определяют наибольшую величину прогиба?

66. В чем заключается интегрирование основного дифференциального уравнения изогнутой оси приемом Клебша и какие упрощения вносит этот прием в определение произвольных постоянных интегрирования?

67. В каком порядке производится определение углов поворота и прогибов сечений балки методом непосредственного интегрирования основного дифференциального уравнения упругой линии?

68. Что представляют собой уравнения метода начальных параметров и почему они так называются? Сделайте вывод этих уравнений.

69. как определяются значения неизвестных начальных параметров?

70. В каком порядке производится определение углов поворота и прогибов сечений балок методом начальных параметров?

71. Выведите формулы для определения прогибов и углов поворота сечений балок графоаналитическим методом.

72. Как устанавливается схема фиктивной балки и какая фиктивная нагрузка прикладывается к этой балке?

73. В каком порядке производится определение углов поворота и прогибов балки графоаналитическим методом

74. Какие балки называются неразрезными?

75. Как определяется степень статической неопределимости неразрезной балки?

76. Какой вид имеет уравнение трех моментов для неразрезной балки постоянной жесткости и каков физический смысл этого уравнения? Выведите уравнение трех моментов.

77. Как вычисляются изгибающие моменты и поперечные силы в произвольном сечении неразрезной балки, а также опорные реакции балки после определения неизвестных опорных моментов?

78. Как с помощью уравнений трех моментов рассчитывается неразрезная балка с защемленными концами?

79. Как при составлении уравнения трех моментов учитывается нагрузка, приложенная на консоли неразрезной балки?

80. В каком порядке производится расчет неразрезной балки?

 

 

Глава IX. Определение перемещений в балках при изгибестр

§ 74. Общие замечания............................................................ …… 212

§ 75. Дифференциальные уравнения осп изогнутого бруса.. …… 214

§ 76. Интегрирование дифференциального уравнения и определение

постоянных………………………………………………………….…….216

§ 77. Метод начальных параметров....................................... …… 221

§ 78. Определение перемещении способом фиктивной нагрузки … 231

§ 79. Определение перемещений в балках переменного сечения … 233

§ 80. Метод Мора для определения перемещении................ …… 236

Глава Х.Простейшие статически неопределимые системы и балки, лежащие на сплошном упругом основании

§ 81. Статически неопределимые балки при изгибе.............. …… 244

§ 82. Канонические уравнения метода сил............................. …… 249

§ 83. Расчет простейших статически неопределимых стержневых систем по

методу сил................................................................................ …… 253

§ 84. Расчет статически неопределимых балок по методу разрушающих нагрузок …… 261

§ 85. Дифференциальное уравнение оси изогнутой балки, лежащей на сплошном упругом основании …….................................................................................................. 263

§ 86. Расчет бесконечно длинной балки, лежащей на сплошном упругом основании, при действии на нее одной сосредоточенной силы Р......................................................... … 266

§ 87. Понятие о расчете коротких балок, лежащих на сплошном упругом основании. Метод начальных параметров............................................................................... …… 269

Глава XI. Сложное сопротивление

§ 88. Общие понятия................................................................ …… 273

§ 89. Построение эпюр внутренних усилий для стержня с ломаной осью.. 275

§ 90. Косой изгиб..................................................................... … 277

§ 91. Одновременное действие изгиба и продольной силы .. …… 282

§ 92. Внецентренное действие продольной силы.................. …… 283

§ 93. Ядро сечения................................................................... …… 288

. Вопросы для самопроверки............................................ …… 292

 

Глава XII. Теории прочности

§ 95. Основные положения...................................................... …… 293

§ 96. Первая, вторая и третья классические теории прочности …… 245

§ 97. Энергетическая теория прочности................................. …… 298

§ 98. Теория прочности Мора................................................. … 301

§ 99. Объединенная теория прочности................................... …… 304

§ 100. Понятие о новых теориях прочности.......................... …… 307

Глава XIII. Основы расчета тонкостенных стержней открытого профиля

§ 101. Основные понятия......................................................... ….. 311

§ 102. Свободное кручение тонкостенных стержней............ …… 312

§ 103. Стесненное кручение и его особенности..................... …… 314

§ 104. Зависимости между деформациями стержня и перемещениями его точек ……………316

§ 105. Закон распределения нормальных и касательных напряжений в сечении стержня . …. 321

§ 106. Расчетные формулы для напряжений и соответствующих им внутренних силовых факторов......................................................................................... ……………324

§ 107. Дифференциальное уравнение угла накручивания стержня и его интегрирование …… 327

§ 108. Вычисление геометрических характеристик.............. . … 332

1. Определение положения центра изгиба А................. …… 332

2. Определение главной секториальной нулевой точки Мо …. 335

Техника вычисления геометрических характеристик ….. ……………336

§ 109. Общий случай действия сил на тонкостенный стержень …… 338

Глава XIV. Расчет кривого бруса

§ 110. Общие замечания.......................................................... ……. 343

§ 111. Растяжение и сжатие кривого бруса............................ …… 344

§ 112. Чистый изгиб кривого бруса........................................ …… 345

§ 113. Определение положения нейтральной оси в кривом брусе при чистом

изгибе.............................................................................. …… 348

§ 114. Напряжение при одновременном действии продольной силы и изгибающего момента …… 350

Глава XV. Устойчивость сжатых стержней

§ 115. Основные понятия........................................................ …… 353

§ 116. Метод Эйлера для определения критических сил. Вывод формулы

Эйлера............................................................................ …… 356

§ 117. Влияние способов закрепления концов стержня на величину критической силы …… 359

§ 118. Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского.... 362

§ 119. Выпучивание упруго-пластического центрально-сжатого стержня в условиях возрастающей нагрузки (понятие о теории Ф. Р. Шенли).................................... 365

§ 120. Расчет впецентренно-сжатой гибкой стойки............... …… 368

§ 121. Практический расчет сжатых стержней...................... …… 371

§ 122. Продольно-поперечный изгиб..................................... …… 375

§ 123. Учет влияния сдвигов при определении критической силы … 380

. Вопросы для самопроверки.......................................... …… 292

Глава XVI. Ползучесть материалов

§ 124. Влияние фактора времени на деформирование материалов...... 384

§ 125. Вывод зависимости между напряжениями и деформациями при линейной ползучести …… 388

§ 126. Частный случай линейной ползучести........................ …… 392

§ 127. Принцип Вольтерра...................................................... …… 396

§128. Решение статически неопределимых задач линейной ползучести. 397

§ 129. Выпучивание вязко-упругого стержня, имеющего начальное искривление …… 403

§ 130. Нелинейная ползучесть материалов............................ …… 406

Глава XVII. Динамическое действие нагрузок

§ 131. Общие замечания.......................................................... …… 411

§ 132. Учет сил инерции при расчете троса.......................... …… 411

§ 133. Расчеты на удар............................................................ …… 413

§ 134. Понятие о волновой теории удара............................... …… 421

§ 135. Собственные колебания системы с одной степенью свободы 424

§ 136. Вынужденные колебания упругой системы................ ……. 428

Вопросы для самопроверки............................................ …… 292

Глава XVIII. Концентрация напряжений

§ 137. Общие понятия о концентрации напряжений.............. …… 433

§ 138. Изучение концентрации напряжений с помощью оптического метода

и метода лаковых покрытий.................................................... …… 440

§ 139. Понятие о контактных напряжениях........................... ……. 441

Глава XIX. Прочность материалов при напряжениях, периодически меняющихся во времени

§ 140. Понятие об усталостном разрушении и его причины …… 444

§ 141. Виды циклов напряжений............................................. …… 446

§ 142. Понятие о пределе выносливости................................ …… 448

§ 143. Диаграмма предельных амплитуд............................... …… 449

§ 141 Факторы, влияющие на величину предела выносливости ……. 451

§ 145. Расчет на прочность при переменных напряжениях... …… 454

Глава XX.Расчет тонкостенных сосудов

§ 146. Понятие о безмоментной и моментом теориях расчета сосудов 459

§ 147 Определение напряжений в стенках сосудов по безмоментной теории.460

§ 148. Краевой эффект в цилиндрической оболочке............. …… 466

Алфявитно-предметный указатель......................................... …… 471

 

 

[*] Постановка и проведение таких опытов подробно описаны в гл. II.

[†] См.гл. II, §20.

[‡] В том случаи, когда наибольшее по абсолютному значению будет сжимающее напряжение [σ₃], в условии (12.3) вводят σ_расч. = [σ₃] и соответствующее расчетное сопротивление.

[§] См. гл. III, §24.

[**] См. гл. III, § 33, формула (3.50).

[††] Опыты показывают, что ошибка от неучета напряжения σ₂ не превышает 10-15%.

[‡‡] Идея этой теории была высказана в 1936 г. проф. Н.Н. Давыденковым и в дальнейшем развита Я.Б. Фридманом.

[§§] Здесь сохранена форма изложения Ю.И. Ягна, который исходил из метода допускаемых напряжений.

[***] Cм. гл. VII, §52, формула (а)

[†††] Ось Оz направлена по касательной к оси бруса, а ось Оу совпадает с осью симметрии сечения (рисунок 340).

[‡‡‡] Знак минус взят потому, что при выбранных осях координат кривизна отрицательная, а момент положительный.

[§§§] Различают две фазы удара. В первой фазе центры тяжести соударяемых тел сближаются, а сила взаимодействия между телами возрастает, достигая максимального значения в момент наибольшего сближения тел, когда скорость относительного движения обращается в нуль.

Во второй фазе (фазе восстановления) центры тяжести тел удаляются друг от друга, силы взаимодействия уменьшаются, обращаясь в нуль, в конце удара, когда прекращается контакт тел, или в постоянную величину, равную весу падающего груза, если удар является абсолютно неупругим.

[****] Такой расчет справедлив, когда масса падающего груза значительно больше массы стержня.

[††††] В рассмотренном параграфе приводятся данные из так называемой классической линейной, т. е. «безмоментной», теории упругости. В последнее время широкое применение получила «моментная» теория упругости, где доказано, что учет «моментных» напряжений ведет к снижению (по сравнению с классическими значениями) максимальной величины коэффициента концентрации напряжений на контуре свободного криволинейного отверстия (работы Ин-та механики АН УССР)

[‡‡‡‡] Здесь (см. стр. 455).