ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА. ФОРМУЛА ЯСИНСКОГО

Формула Эйлера, полученная более 200 лет назад, долгое время являлась предметом дискуссий. Споры длились около 70 лет. Одной из главных причин споров явилось то обстоятельство, что формула Эй­лера для некоторых случаев не подтверждалась экспериментами. Объясняется это тем, что формула Эйлера выводилась в предположе­нии, что при любом значении стержень работает в пределах упругих деформаций с использованием закона Гука.

Поэтому естественно, что ее нельзя применять в случаях, когда критические напряжения больше предела пропорциональности. Для установления предела применимости формулы Эйлера найдем

Здесь i—Л/ -p — радиус инерции.

Обозначим 7" через X. Величина называется гибкостью стержня.
Итак, _ч

а_кр = ^. (15.9)

Приравнивая это напряжение пределу пропорциональности, полу­чим предельное значение гибкости

Если >₀, то можно применять формулу Эйлера. Если же X < kg, то формулой Эйлера пользоваться нельзя. Для стали Ст. 3 о_пЦ да 2000 кгс/см², Е = 2,1 -10° кгс/см². Приняв л² яа 10, получим

Для стали Ст. 5 Х_й = 90.

Для случая, когда стержень работает за пределами упругих дефор­маций, теоретические выводы сильно усложняются. Поэтому были проведены экспериментальные исследования. На основе опытных дан­ных Ф. С. Ясинский предложил эмпирическую формулу для опре­деления критических напряжений

где а и b — постоянные, зависящие от материала. Так, например, для стали Ст. 3

о_кр = 3100-11,4а; для дерева

о_кр = 293 -1,94а.

На рис. 361 схематически показан полный график зависимости критических напряжений от гибкости для стали Ст. 3. Гипербола Эйлера, построенная по уравнению (15.9), при к < А_о показана пунк­тиром, так как ею пользоваться на этом участке нельзя.

При гибкостях, равных от 0 до 40—50, стержень настолько корот­кий, что практически разрушается при потере прочности, поэтому критическое напряжение может быть принято равным пределу теку­чести (или пределу прочности). При гибкостях, лежащих в интервале 50 sg к ^ Х_о, стержень теряет устойчивость, деформируясь в упруго-пластической области, поэтому график очерчен по прямой Ясинского.

На этом же рисунке нанесены точки, показывающие значения кри­тических напряжений, полученных экспериментальным путем. Много­численные экспериментальные исследования, проведенные в разных странах, показывают хорошее совпадение опытных данных с полным графиком критических напряжений.

Применение формул Эйлера и Ясинского позволяет решить задачу устойчивости сжатых стержней на всем интервале гибкостей, кото­рые встречаются в строительной практике.

Помимо чисто •экспериментальных результатов для случаев, когда стержень работает в упруго-пластической области, имеются теорети­ческие исследования, в которых для критических сил предлагаются формулы, подобные формуле Эйлера. К числу таких исследований прежде всего необходимо отнести работу Ясинского, где предлагается применять формулу Эйлера для упруго-пластической области, но

с использованием так называемого приведенного модуля

р ₌?1ЁА. ля Ю)

Идея применения приведенного модуля Е_г заключается в том, что первоначально сжатый стержень при последующем изгибе начинает работать как стержень с различными модулями упругости при растя­жении и сжатии.

Представим себе, что стержень центрально сжат и напряжения превышают предел упругости, а сила, действующая на стержень, близка к критической. При достижении ею критического значения стержень начинает изгибаться. От изгибающего момента в одной части поперечного сечения появятся дополнительные сжимающие напряже­ния, а в другой дополнительные напряжения будут растягивающими. Следовательно, в этой части поперечного сечения происходит разгрузка. Как известно, модуль упругости при разгрузке материала совпадает с обычным модулем упругости, а модуль упругости при дальнейшем догружении материала равен тангенсу угла наклона касательной к диаграмме сжатия (рис. 362). Таким образом, если стержень цент­рально сжат с напряжениями, превышающими предел упругости, а затем начинает изгибаться, то при изгибе он работает как стержень с различными модулями упругости на растяжение и сжатие.

Задача об изгибе такого стержня решалась в § 69. Воспользуемся выражением приведенного модуля упругости из § 69. Так, например, для стержня с прямоугольным поперечным сечением приведенный модуль, или, как его иначе называют, модуль Ясинского, определяется следующей Формулой:

где Е₁ — модуль упругости при разгрузке, равный начальному модулю (например, для стали E_t = Е — 2,1 X X 10⁶ кгс/см²);

Е₂ — Е_х — модуль упругости, взятый для соответствующего осе­вого напряжения. Он равен тангенсу угла наклона касательной к кривой сжатия, поэтому часто назы­вается касательным модулем.

Формула Ясинского (15.10) довольно хорошо совпадает с резуль­татами, полученными экспериментальным путем.