ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ

Выведенные в предыдущих главах формулы для определения напря­жений при растяжении, кручении и изгибе справедливы только в том случае, когда сечение отстоит на достаточном расстоянии от мест рез­кого изменения формы тела (выточек, отверстий ит. п.).

Напряжения, возникающие в точках вблизи мест приложения сосредоточенных сил, около выточек, у краев отверстий, в местах резкого изменения формы тела, у надрезов итрещин, не могут быть найдены с помощью элементарной теории.

В таких местах наблюдается явление резкого увеличения напряже­ний, которое называется концентрацией напряжений.

 

Так, например,при сжатии стержня (рис. 423), имеющего резкое изменение размеров поперечного сечения, напряжения в сечении 1-1 и 2-2 можно определять по обычным формулам:

где /■") и F* — площади сечения верхнего и нижнего участков стержня.

По сечению 3-3 напряжения распределяются неравномерно, возра­стаяк краям стержня и убывая к середине.

Максимальное напряжение в этом сеченииможно выразить так:

Величину а_а называют теоретическим коэффициентом концентра­ции напряжений. Он зависит от соотношения размеров верхнего i нижнего участков стержня. В общем случае теоретическим коэффи­циентом концентрации напряжений называется отношение максималь­ного напряжения, вычисленного с учетом концентрации (в предполо­жении совершенной упругости), к номинальному напряжению в той ж« точке:

За номинальное напряжение а_ном принимают такое напряжение, которое определяется по обычным формулам сопротивления материалои без учета эффекта концентрации.

Обычно номинальное напряжение определяют для наиболее ослаб­ленного сечения. Так, например, для полосы, ослабленной отверстией (рис. 424),

В тех случаях, когда определение напряжений в ослабленном сечении затруднено, для простоты расчета за о_ном принимают напряже­ние в неослабленном сечении.

Очевидно, что теоретический коэффициент концентрации не може! быть меньше единицы.

Величину коэффициента концентрации напряжений определяю! либо с помощью методов теории упругости, либо экспериментальным путем.

Так, например, в теории упругости приводится решение для растя­нутой пластинки, ослабленной круглым отверстием, расположенным на оси симметрии. Если ширина пластинки В велика по сравнении: с радиусом отверстия г, то в наиболее ослабленном сечении К-К (см. рис. 424) напряжения о_г определяются по формуле

где о — среднее напряжение в сечении, достаточно удаленном oi

места ослабления;

у — расстояние от центра отверстия до точки, в которой опре­деляется напряжение.

При у — г Gmax = За. Таким образом, при г/В -у 0 а_ном = о и а_а =. 3.

С увеличением у напряжения быстро убывают, асимптотически приближаясь к напряжениям а.

В точках т в вертикальных площадках возникают сжимающие напряжения.

Величина напряжений в вертикальном сечении определяется фор­мулой

ч

При г — г с,, — —о, при г — 2г а,, — а/32. Как видно из эпюры (рис. 424), эти напряжения быстро затухают.

Приведенное точное решение может быть использовано лишь для случая пластинки, ширина которой велика по сравнению с диаметром отверстия (В ^э 10г). С уменьшением ширины пластинки теоретический коэффициент концентрации напряжений возрастает, а напряжения у наружных краев пластинки (точки К, К) становятся меньше о.

В табл. 14 приведены значения теоретического коэффициента кон­центрации напряжений для различных значений отношения диаметра отверстия к ширине пластинки.

Таблица 14

 

2г/В	2г/.8 = 0	2г/В = 0,1	2г/В = 0,2	2г/В = 0,3	2г/В = 0,4	2г/В = 0,5
ос0	3,00	3,03	3,14	3,36	3,74	4,32

Как видно из таблицы при В = 4га„ = 4,32. Напряжения у наруж­ных краев пластинки в этом случае будут равны

а_г = 0,75а.

Следует отметить, что только для некоторых задач о концентрации напряжений найдены точные аналитические решения (двусторонняя или круговая выточка, отверстие и некоторые другие). В последнее время в связи с развитием вы­числительной техники стали ши­роко использоваться численные методы решения задач теории упругости. Эти методы позволя­ют с достаточной для практиче­ских целей точностью опреде­лить коэффициент концентрации в случае отверстий или выточек произвольной формы.

Во всех других случаях оп­ределения величины коэффици­ента концентрации и закона распределения напряжений по сечению производятся экспериментальным путем, а именно: методами фотоуп­ругости, тензометрии, методами лаковых покрытий, аналогий и др.

Концентрация напряжений как при растяжении, так и при других видах деформаций значительно зависит от формы отверстия или выточки.

Рассмотрим случай ослабления широкой пластинки эллиптическим отверстием (рис. 425). Точное решение представляется в виде

где а и b — полуоси эллипса.

С увеличением отношения alb максимальные напряжения возрас­тают и при узком отверстии, расположенном перпендикулярно на­правлению растяжения, достигают очень большой величины. В связи с этим особенно большую опасность представляют тонкие прорези.

Особенно большие напряжения возникают у краев поперечных трещин. Чем тоньше трещины, тем больше напряжение в точках, расположен­ных у ее края.

Концентрация напряжений возникает также при других видах деформаций. Так, например, при чистом изгибе полосы, ослабленной двумя симметричными выточками, имеющими форму гиперболы (рис. 426), теоретический коэффициент концентрации напряжений может быть найден по формуле

где а — полуширина полосы в месте ослабления;

/■ — радиус кривизны в глубине выточки.

Этой же формулой можно пользоваться для выточек другой формы, так как существенное влияние на коэффициент концентрации оказывает

только кривизна у дна вы­точки. Так, например, с достаточной степенью точ­ности эта формула может быть применена для выто­чек, показанных на рис. 427, а, б.

Теоретически при нали­
чии выточки, имеющей ост­
рый угол, в точке, соответ-
Рис. 426 ствующей вершине этого

угла, напряжения равны

бесконечности. Практически же из-за пластических деформаций на­пряжения не равны бесконечности, но достигают очень больших значений.

Для деталей, изготовленных из пластического материала, в котором площадка текучести принимается простирающейся безгранично (см. рис. 215), концентрация напряжений при статической нагрузке не опасна и может совсем не приниматься во внимание. Это объясняется тем, что максимальные напряжения в местах концентрации, достигая предела текучести, перестают увеличиваться и текучесть материала распространяется на остальную часть сечения. Дальнейшее уве­личение нагрузки приводит к распространению текучести в глубь сечения, т. е. происходит выравнивание напряжений в ослабленном сечении.

Для хрупких материалов концентрация напряжений должна учиты­ваться и при статическом приложении нагрузкипутем введения соответ­ствующего коэффициента концентрации. В этом случае при достижении в ослабленном сучении наибольшего напряжения, равного величине предела прочности о_в, появляется трещина, которая, быстро разви­ваясь, приводит к разрушению детали.