ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ

Если на систему действует сила Р (/), изменяющаяся во времени по какому-либо закону, то колебания балки, вызванные действием этой силы, называют вынужденными. После приложения силы инер­ции балку в отклоненном состоянии можно рассматривать как находя­щуюся в равновесии (рис. 419). Перемещение % теперь уже нужно опре­делить от двух сил — i и Р (/):

i = b_n[i+p(t)i

где б_п — прогиб от единичной силы, приложенной в месте прикреп­ленной массы.

Заменяя силу инерции ее значением и перенося неизвестные в левую часть, после деления всех членов на т8_п получим

§ _{+ 4>%} = L_P(t). (17.16)

Интеграл этого уравнения состоит из двух частей: решения одно­родного уравнения и частного интеграла, зависящего от вида правой части.

Рассмотрим частный случай, когда внешняя сила представляет собой вибрационную (периодическую) нагрузку, меняющуюся по гармоническому закону с частотой б,

Р (t) = P sin et, 428-

то получим

 

Первое слагаемое этого выражения представляет собой собственные колебания, а второе описывает вынужденные колебания. Величины А и v определяют из началь-ных условий.

Так как собственные
колебания в реальных бал-
ках быстро затухают, то
рассмотрим только вынуж-
денные колебания, которые
происходят с частотой 8. ^ис'

Наибольшее отклонение стержня от своего первоначального поло­жения (т. е. амплитуда вынужденных колебаний) будет найдено, если принять sin 8 = 1:

t __Jki_ _t ..

Smax — q,, — -_CTJ1.

Для исследования значения динамического коэффициента

приведен график на рис. 420 абсолютного значения величины ц.

Из этого графика видно, что в том случае, когда частота вынужденных

колебаний 0 приближается к часто­те собственных колебаний <р, дина­мический коэффициент }х безгранич­но возрастает (при 0 = ф ц ->- оо). Такое явление называется резонан­сом.

Если учесть затухание (силы внут­реннего сопротивления), то вместо уравнения (17.16) получим следую­щее дифференциальное уравнение:

Уравнение вынужденных колеба­ний (17.20) отличается от уравнения собственных колебаний (17.12) не только наличием правой части, но

и коэффициентом при первой производной -4. Вместо величины 2р

введенной в уравнение (17.12), принят коэффициент 2р_х.

Как уже говорилось в предыдущем параграфе, гипотеза Фойгта не может быть безоговорочно принята при изучении колебаний упругих систем. Ее можно использовать при условии, что величина к в формуле (17.11) не является постоянной, а зависит от частоты колебаний. Результаты теории и опыта будут в большей мере согласованы, если

принять, что при собственных колебаниях х = х_ф = ^-, а при уста­новившихся вынужденных колебаниях, совершающихся с частотой 0, (Здесь у — логарифмический декремент затухания.)

Этим и объясняется то, что коэффициенты 2|3 и 2р в уравнениях (17.12) и (17.20), учитывающие влияние сил сопротивления, различны.

Отношение двух коэффициентов pV|3 будет такое же, как отношение

(17.21)

Частное решение уравнения (17.20), соответствующее чисто вынуж­денным колебаниям, может быть записано в виде

l = B₁sinQt + B₂coset. (17.22)

Подставляя это выражение в уравнение (17.20) и объединяя члены, содержащие sin 0/ и cos 0/, получим

Г(_ф2 _ е^) в_г - 2Pi0S₂ - |-1 sin 0* + [2Pi0Bx + (Ф² - ©²) В_г] cos 0/ = 0.

Это уравнение^ должно тождественно обращаться в нуль при любых значениях t. Данное условие будет выполняться, если коэффициенты при sin 0^ и cos 0/ приравнять нулю. В результате получим два урав­нения с двумя неизвестными В_х и В₂:

Решая полученные уравнения, найдем:

(17.23)