Учитывая выражение для этих двух критических сил, полу­чим следующее условие равноустойчивости

Если для одного швеллера моменты инерции J_Xl и J_Pl, а площадь сечения F_x, то для определения расстояния а можно написать следую­щее уравнение:

Во всех остальных случаях рациональным будет такое сечение, при котором равны между собой две критические силы:

П п

■"lKp ' 2кр^-

Учитывая выражение (15.8) для этих двух критических сил, полу­чим следующее условие равноустойчивости:

Однако практически при назначении размеров сжатых стержней принимается во внимание целый ряд соображений конструктивного характера, поэтому условие равноустойчивости стержня в двух напра­влениях учитывается по мере возможности.

В некоторых (редких) случаях встречаются такие способы закреп­ления концов стержня, при которых может произойти потеря устойчи­вости с одновременным изгибом оси стержня в двух плоскостях. На­пример, если по концам стержня поставлены цилиндрические шарниры, оси которых повернуты по отношению друг к другу на некоторый угол, не равный 90°, то потеря устойчивости сопровождается пространствен­ной формой изгиба стержня. Подобного рода задачи обычно решаются в специальных курсах устойчивости сооружений.

ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА. ФОРМУЛА ЯСИНСКОГО

Поэтому естественно, что ее нельзя применять в случаях, когда критические напряжения больше предела пропорциональности. Для установления предела… Здесь i—Л/ -p — радиус инерции.

ПРАКТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

тических: с = 7Д-</^ = акр. (15.17) rbrutto rbrutto

Глава XVII ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ НАГРУЗОК

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Часто в инженерной практике приходится встречаться с так назы­ваемой динамической нагрузкой, которая сравнительно быстро меняет свою величину или… С силами инерции в свою очередь связаны дополнительные напря­жения и… На практике влияние динамической нагрузки, как правило, учи­тывается с помощью так называемого динамического…

УЧЕТ СИЛ ИНЕРЦИИ ПРИ РАСЧЕТЕ ТРОСА

iVCT = G--qz. При подъеме груза с ускорением а для определения натяжени каната необходимо… спи, если ко всем точкам ее присоединит дополнительно с и л ы и и е р ц и и.

Л'л _

Величина динамического коэффициентаопределяется выражение

ц=-1+—. (17.1

Таким образом, при подъеме груза с ускорением а дннамнческс напряжение может в несколько раз превысить статическое. Tai-например, в скоростных лифтах, где большая скорость подъема мож«быть достигнута только благодаря большимускорениям, динамнческс напряжение бывает очень большим. Расчет тросов в этом случа должен быть проведен с учетом динамического действия нагрузо!

Если груз опускать с ускорением а, то в формуле динамическог коэффициента на>ю поставить знак минус. При свободном падени груза ускорение a —g, поэтому натяжение в канате равно нули Канат следует за падающим грузом без натяжения.

РАСЧЕТЫ НА УДАР

Время удараизмеряется в тысячных, а иногда и миллионных долях секунды, а сила удара достигает большой величины, например, действие кузнечного молота… На рис. 401 показан график изменения силы удара падающего груза в зависимости… Импульс силы удара

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ

i = bn[i+p(t)i где бп — прогиб от единичной силы, приложенной в месте прикреп­ленной массы. … Заменяя силу инерции ее значением и перенося неизвестные в левую часть, после деления всех членов на т8п получим

Р_

Т

Далее уравнение вынужденных колебаний (17.22) удобно предста­вить в виде

E = Bsin(e/ + v₁), (17.24)

где В и v_x — амплитуда и фаза вынужденных колебаний.

Если учесть, что В sin (в/ + _х) = В sin 6^ cos v_t -f B cos в^ sinv_lt то легко установить связь между постоянными:

Возводя в квадрат левую и правую части этих равенств и складывая их, найдем

Но после деления левых и правых частей друг на друга получим

Учтя равенства (17.23), окончательно имеем

Р/т

и

Так как

ТО

где динамический коэффициентц определится равенством

_{ц==_______} Ф° _ _{=_________________} ¹ _______ /17 9

Используя равенства (17.21) и (17.15), найдем

Подставляя величину р в выражение (17.24), получим оконча­тельную формулу для динамического коэффициента

¹ ' =-. (17.26)

График изменения динамического коэффициента, построенный по этому выражению, имеет вид, показанный на рис. 421. Положение каждой кривой зависит от декремента затухания у. Таким образом,

в реальных балках в момент резонанса динамическийко­эффициент не будет равен бес­конечности, но тем не менее

он достигает очень больших значений. Поэтому резонанс весьма опасен для сооружений иего нельзя допускать.

Пример. Рассмотрим пример исследования вынужденных колебаний (рис.422). Балка имеет двутавровое сечение № 16 (J_х = 873 см*). Пролет балки I = 3 л; вес груза на конце G = 300 кгс. Найти наибольшие напряжения в заделке, если на груз действует вибрационная сила Р (I) = Р_о sin Qt P_o = 100 кгс, 6 = 15 сек¹, Массой балки я силами сопротивления пренебрегаем.

Для определения частоты собственных колебаний

находим массу:

и прогиб конца балки от единичной силы:
I* 300

—- = 0,00-19 см.

¹¹ 3EJ 3-2,1 ■ 10^й-873 Подстановка значений т и 6_П дает

= 25,83 сек'1.

0,306-0,0049 Динамический коэ4>фициент равен

1 1

е-

г-1,51.

( ¹⁵ .

ф 25.83y¹

Момент в заделке

Л^= 300 ■ 300 -|- 100 - 300 • 1,51 = 135 300 кгс см.

Вычисляем момент сопротивления: W = 873 : 8 = = 109 ел? и находим макс)мальные напряжения:

а = 135 300 : 109=1241 кгс/см-.

Глава XVIII КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ

Напряжения, возникающие в точках вблизи мест приложения сосредоточенных сил, около выточек, у краев отверстий, в местах резкого изменения формы… В таких местах наблюдается явление резкого увеличения напряже­ний, которое…  

D

Следует отметить, что опасность концентрации напряжений зна­чительно возрастает и при снижении температуры, так как материал становится более хрупким.

Концентрация напряжений особенно опасна при действии нагрузок, вызывающих переменные или знакопеременные напряжения. В этих случаях она должна учитываться как для пластических, так и для хрупких материалов, о чем

более подробно будет ска­зано в гл. XIX *.

Естественно, возникает вопрос о том, каким обра­зом можно снизить концен­трацию напряжений.

Из приведенных выше формул для коэффициента концентрации напряжений следует, что в различного рода трещинах, вырезах, выточках, в ме­стах ступенчатого изменения площади поперечного сечения жела­тельно заменять острые выточки плавными кривыми, т. е. увели­чить радиус кривизны конца трещины или отверстия. Зто приводит к снижению кон­центрации напряжений. Так например, для прекращения развития трещины в пластине достаточно на конце трещины просверлить отверстие. Это в значительной степени снизит коэффициент концентрации напряжений.

В 1920 г. была опубли-

кована классическая работа Грнффитса, в которой при­водились результаты про­веденных им экспериментов

с образцами, изготовленными из стекла различной толщины волокон. В этой работе отмечалось, что прочность волокон увеличивается с уменьшением их диаметра.

На рис. 428 приведен полученный Гриффитсом график зависимости прочности стеклянных волокон от толщины волокна. Из графика видно, что обычное стекло, применяемое в быту, имеет прочность значительно более низкую, чем прочность такого же стекла, но изготовленного из отдельных волокон малой толщины. Чем тоньше нити, тем они прочнее,

* В рассмотренном параграфе приводятсяданные из так называемойклассиче­ской линейной, т. е. «безмоментной», теории упругости. В последнее время широкое применение получила «моментная» теория упругости, где доказано, что учет «мо-ментных» напряжений ведет к снижению (по сравнению с классическими значениями) максимальной величины коэффициентаконцентрации напряжений на контуре сво­бодного криволинейного отверстия (работы Ин-тамеханики АН УССР).

Глава XIX

ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ ПРИ НАПРЯЖЕНИЯХ, ПЕРИОДИЧЕСКИ МЕНЯЮЩИХСЯ ВО ВРЕМЕНИ

ПОНЯТИЕ ОБ УСТАЛОСТНОМ РАЗРУШЕНИИ И ЕГО ПРИЧИНЫ

Как правило, детали разрушались без видимых остаточных дефор­маций даже в тех случаях, когда они изготовлялись из пластиче­ских материалов. Возникло… Позднее, с усовершенствованием лабораторных методов исследо­вания было… «Усталость» металлов давно привлекает внимание исследователей. Однако природа этих разрушении все еще во многом…

ВИДЫ ЦИКЛОВ НАПРЯЖЕНИЙ

  В сечении т-п действует изгибающий момент, от которого в точке h возникают… м Mr . . ,1fV1,

ПОНЯТИЕ О ПРЕДЕЛЕ ВЫНОСЛИВОСТИ

Пределом выносливости называют наибольшее значение макср мального напряжения цикла сттах (или omin, если | отах i < | отп |] которое не вызывает… предел выносливости обе значается 0_ь при прос том растяжении и ежа тии — о+1, а при отнуле вом — сг0.

ДИАГРАММА ПРЕДЕЛЬНЫХ АМПЛИТУД

При графическом изображении зависимости предела выносливости от коэффициента асимметрии необходимо для каждого R определить свое значение предела… Вследствие указанных причин по ограниченному числу опытов для трех-четырех… Предельным циклом называют такой, у которого максимальное напряжение равно пределу выносливости, т. е. amax = oR. По…

ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ВЕЛИЧИНУ ПРЕДЕЛА ВЫНОСЛИВОСТИ

Концентрация напряжений. Усталостные трещины, как правило, возникают в местах концентрации напряжений. Степень концентрации напряжений оценивается коэффициентами 15*

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ

п^[п]. Коэффициенты запаса п можно определить приближенно с помо­щью…

ON_

ОМ-

Если луч 01 пересекает прямую А В, рост напряжений цикла вызывает в образце усталостное разрушение. Коэффициент запаса по отношению к усталостному разрушению в этом случае обозначается /г# и определяется из следующих соображений: точка Л' находится на прямой АВ и удовлетворяет уравнению (19.11), которое принимает вид

сг_1-'фп_Лог_т + Яяог_а, (19.13)

откуда

ⁿ*~WHU <19.14)

Получен коэффициент запаса для гладкого образца. Прочность детали зависит от размеров и формы этой детали, от состояния ее поверхности. Все это учитывается соответствующими коэффициентами, в нашем случае эффективным коэффициентом концентрации напряже­ний к_а, коэффициентом поверхностной чувствительности |3, масштаб­ным коэффициентом е„.

Для получения диаграммы предельных амплитуд соответствующей детали нужно предел выносливости при симметричном цикле о _г

уменьшить в ~~- раз, или, что то же самое, амплитудное напряже-

к ние рабочего цикла а_г увеличить в ~~- раз, тогда уравнение (19.13)

примет вид

a..₁ = ^n_Ra_m + n_R-^-a_a; (19.15)

коэффициент запаса детали будет равен

Заметим, что если вместо диаграммы (рис. 447, 6} применить еще более упрощенную диаграмму, построенную по двум точкам (рис. 447, а), то в формуле (19.16) изменится лишь угловой коэффициент г|5 пря­мой АВ. В этом случае нужно принимать

•Ф = сг ,/а„.

Если луч 01 пересекает прямую ВО (см. рис. 447, б), рост напря­жений цикла выведет деталь из строя вследствие появления-в ней пластических деформаций.

Коэффициент запаса по отношению к пределу текучести обозна­чается п_т и вычисляется по формуле

га_т - а_т/ст_тах = <г_Т/(ст_а + а,„). (19.17)

Для деталей, изготовленных из высокопрочных сталей, разруше­ние может произойти от понижения статической прочности, вызван­ного концентрацией напряжений. Подобные случаи возможны при коэффициентах асимметрии, близких к единице.

Коэффициент запаса в этом случае определяется по формуле

й, = oja_max = oj(k_sa), (19.18)

где а„ — предел прочности;

а — напряжение, определяемое без учета концентрации; k_s — коэффициент, учитывающий снижение статической прочно­сти вследствие концентрации напряжений, называемый эффективным статическим коэффициентом концентрации напряжении.

Изложенный расчет относился к случаю одноосного напряженного состояния. В случае плоского или объемного напряженного состоя­ния вопрос оценки прочности значительно усложняется.

Теории прочности, разработанные и достаточно проверенные на опытах при постоянных напряжениях, непосредственно неприменимы к случаю переменных напряжений. В настоящее время этот вопрос еще недостаточно разрешен. Практически в расчетах при плоском напряженном состоянии, характеризуемом нормальным напряже­нием а и касательным напряжением т, используется следующая зави­симость:

/п²=/пь + /п1 (19.19)

где п — искомый коэффициент запаса при плоском напряженном

состоянии;

"о. fh. — коэффициенты запаса, определяемые по формуле (19.16) в предположении, что действуют соответственно толькс нормальные напряжения а или только касательные напряжения т.

Зависимость (19.19) подтверждается некоторыми опытами. Онг может быть выведена и теоретически путем распространения третьей теории прочности (теории наибольших касательных напряжений) т случай, когда напряжения а и т изменяются по симметричному цикл} в одной фазе, т. е. так, что максимумы их во времени совпадают Однако практически ею пользуются и для несимметричных циклов а также в случае несинфазного изменения а и т.

Из уравнения (19.19) находится искомый коэффициент запаса

п= _г^п°^Пх . (19.20

Vⁿb + "i

Пример 1. Поршневой трубчатый палец мотора нагружается силой Р, из меняющейся в пределах от Р = 6000 кгс до Р = — 2000 кгс.

Механические характеристики материала поршневого пальца: предел прочност! а_в = 10 000 кгс > см¹, предел текучести ст_т = 8000 кгссм^г, предел выносливости дл: симметричного цикла a_i = 5000 кгс/слё, предел выносливости для отнулевого цикл a = 7500 кгс I см-.

Наружная поверхность пальца полирована. Коэффициент поверхностной чуе ствителыюсти (5=1, масштабный коэффициент е₀ = 0,9, эффективный коэффициен концентрации напряжений k_a = 1,1.

Определить коэффициент запаса по усталостной прочности.

На рис. 450, а изображена схема передачи усилий на палец, а на рис. 450, б -эпюра изгибающих моментов.

Изгибающий момент в расчетном сечении равен

Р (а Ь Р b b ^М"*^Г —2^'^а2'^Г Т) ~ 1 ' ~2 ' Т*

Момент сопротивления сечения

Наибольшее и наименьшее значения изгибающего момента равны:

^М„зг max = Ь375Р_тах = 1,375 . 6000 = 8250 кгс ■ см; М_ШТmin=l,375P_min= 1,375- (-2000)= -2730 кгс-сч.

Максимальное и минимальное нормальные напряжения равны: М _m=v 8250

.=3380

W 2,44

²⁷⁵°-= - ИЗО кас

"mm _W ' 2,44

Амплитудное и среднее значения напряжений рабочего цикла составляю

= 2255 кгс/см*;

о_пяу-а_т|п 3380-(-1130)
^{тах П11П} 11

а_{а = 2} =

q_max + ^ff_m.n 3380 +(-ИЗО)
а,_п =-------- s-------- =------------ о-------- " ⁼ кгс/см*.

 

Определяем предельные значения амплитудного и среднего напряжения отнуле-

вого цикла:

а^₀ = о^₀ = а₀/2« 7500/2 = 3750 кгс/см².

Далее, по известным значениям для a__lf о_ао и с_т строим диаграмму предельных

амплитуд (рис. 450, в).

Из начала координат диаграммы проводим луч ON под углом а, определяемым

равенством

О=68°.

Считаем, что рабочий и предельный циклы подобны. Точка М с координатами напряжений' рабочего цикла *

„' _ О79П крг!сл? и а = 1125 кгфм² и точка N с координатами предельных напря-жтЪп,Х=ЛзЯкгс/с*. n_Ro_m= 1785 кгс/сл? этого же цикла лежат на одной прямой ON. Значение координат предельных напряжений определено по диаграмме.

Коэффициент запаса n_R можно определить как отношение амплитуд, снятых с графика: ): 2720=1,6.

где

То же значение коэффициента запаса, есте­ственно, получается и по формуле (19.1Ь):

_ai-0,5o_n _

Тогда

1 • V,^

Пример 2. Вал иращается с помощью мотора мощностью N = 50 кет. На валу, делающем п — 000 об/мин, насажено колесо с зубьями. Диаметр ко­леса D = 300 мм. Колесо закреплено на валу с помощью шпонок. Диаметр

V

здесь aa=

(^CM- ^стр- ^455)-

вала и =iou мм, длина его I = 500 лл (рис. 451). Найти коэффициент запас; для сечения 1-1.

Механические характеристики материала вала:

предел прочности о"_в = 6000 кгс/см¹; предел текучести «г_т = 3600 кгс/см²
предел выносливости при симметричном цикле а._х = 2400 кгс/см²; предел вынос
ливости отнулевого цикла а₀ = 3500 кгс/см²; предел текучести при крученш
т_т = 2250 кгс/см²; предел выносливости симметричного цикла при кручении т__х =
= 1800 кгс/см²; предел выносливости отнулевого цикла' при кручении %,—
= 2700 кгс/см². .

Крутящий момент определяем по формуле

у М_кр=97360 ^=97360-|°д- = 8113,3кгс-см. ■

Окружное усилие равно - ' .„

Изгибающий момент в сечении 1-1

Р1 540,9 • 50

тг — ——т—г-=6760 кгс-см.

Напряжения равны:

Ми-зт 6750 ' «max = -j^" = -0ЛП2З- = 54° KXfCH-

ах ⁼

М_кр 8113,3

кес/см².

-max 2W_mT 0,2 • 125

При вращении вала крайние его волокна испытывают попеременное растяжение и сжатие. Таким образом, для нормальных напряжений имеем симметричный цикл, у которого

0_а = 540 кгс/см²; а_т = 0.

Крутящий момент постоянный, следовательно, т_а = 0; т_т = 324 кгс/см².

Эффективный коэффициент концентрации напряжений вала со шпоночной канав­кой, коэффициент поверхностной чувствительности и масштабный коэффициент для этого примера можно найти по Справочнику машиностроения, т. III. Они равны:

1^=2,8; р = 0,9; е„ = 0,86.

Коэффициенты запаса п_а и Пх по усталостному разрушению найдем по формулам?
_ь_т_₁—0,5т_о _ 1800 — 1350 „
* О^бто 1350 --⁰'³³'

^%=4xj_m+a_a ⁼ 01^40 ^{= h23;}

т^%- 1800°'^_s°'⁹
_ for _ Ao „ ,_t

+T_a 7 0,33-324+0•. -*'¹*-Коэффициенты запаса /% и % по отношению к пределу текучести равны:

^Л="^ ⁼ '5^ ⁼ 3 =⁶⁶⁷

__ т_т 2250

a _m 0 + 324 -^6>94-

Принимая для расчета меньшие значения Яд и %, найдем общий коэффициент запаса прочности по формуле

_ _2>

К (1.23)»+{4,14)»